ความน่าจะเป็นที่หนึ่ง $2$ ผลลัพธ์คือหนึ่งเนื่องจากผลลัพธ์ที่สามเป็นผลลัพธ์สุดท้ายที่จะเกิดขึ้น

Question

พิจารณาลำดับการทดลองที่เป็นอิสระต่อเนื่องกันโดยที่การทดลองแต่ละครั้งมีแนวโน้มที่จะให้ผลลัพธ์อย่างเท่าเทียมกัน $1$, $2$, หรือ $3$. ให้ผลลัพธ์นั้น$3$ เป็นผลลัพธ์สุดท้ายจากสามผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นให้ค้นหาความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่

1. การทดลองสองครั้งแรกส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ $1$
   

ความพยายามของฉัน:ให้

1. {หนึ่ง $1st$} = เหตุการณ์ที่ผลของการทดลองครั้งแรกเป็นหนึ่ง

2. {หนึ่ง $2nd$} = เหตุการณ์ที่ผลของการทดลองครั้งที่สองเป็นหนึ่ง

3. {third last} = เหตุการณ์ที่ผลลัพธ์ที่สามเกิดขึ้นหลังจากผลลัพธ์หนึ่งและสองเกิดขึ้น

$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} = \dfrac{P(\text{third last}) \cdot P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})}$ $= P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})$

ตอนนี้เนื่องจากการทดลองแต่ละครั้งมีแนวโน้มที่จะเท่ากัน $1$, $2$, หรือ $3$ และเราได้รับว่า $1^{st}$ การทดลองไม่ได้ $3$ ด้วยเหตุนี้ $P(\text{one 1st}|\text{third last})=0.5$

ในทำนองเดียวกัน $P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last}) = 0.5$ เนื่องจากการทดลองทั้งหมดเป็นอิสระการทดลองแต่ละครั้งจึงมีแนวโน้มที่จะเท่ากัน $1$, $2$, หรือ $3$ และผลการทดลองครั้งที่สองไม่สามารถเป็นได้ $3$(ตั้งแต่ผลลัพธ์ $3$ เกิดขึ้นหลังจากผลลัพธ์ $1$ และ $2$ เกิดขึ้นทั้งคู่)

ด้วยเหตุนี้ $P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) =0.25$แต่คำตอบที่ได้รับคือ $\dfrac{1}{6}.$

ฉันทำผิดอะไร?

แก้ไข:คำตอบที่ได้รับ (ซึ่งฉันเข้าใจ) คือ
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} =\dfrac{P(\text{one 1st})\cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st})\cdot P(\text{third last}|\text{one 2nd}\cap \text{one 1st})}{P(\text{third last})} = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$

Answer 1

มีข้อสันนิษฐานบางอย่างที่ผิด

ตัวอย่างเช่นลำดับ $(1,1,3)$ ไม่ใช่เหตุการณ์ "สุดท้ายที่สาม" ที่ถูกต้อง แต่ถือว่าถูกต้องในการคำนวณของคุณ

"หนึ่งแรก | ที่สามสุดท้าย" ได้รับการคำนวณอย่างถูกต้องว่าเป็น $1\over 2$. อย่างไรก็ตาม "หนึ่งวินาที | หนึ่งที่หนึ่งและสามสุดท้าย" ไม่ใช่$1\over 2$ เพราะก $2$ จะต้องเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่งหลังจาก $1$ และก่อนหน้านี้ $3$ ดังนั้นสิ่งแรกคือ $1$ และสุดท้ายคือ $3$มีโอกาสมากกว่าที่ก $2$ เกิดขึ้นในการทดลองครั้งที่สอง