ความสับสนเกี่ยวกับคำจำกัดความของคะแนนสะสม

Question

ฉันพยายามเรียนรู้เล็กน้อยเกี่ยวกับขีด จำกัด ของลำดับและคะแนนสะสมเพื่อให้ได้สัญชาตญาณที่ดีขึ้นเบื้องหลังการทำงานของแคลคูลัสและฉันสับสนกับคำจำกัดความของขีด จำกัด คะแนน จำกัด และคะแนนสะสมของลำดับและชุด

คำถามแรกของฉันคือขีด จำกัด ของลำดับเช่นเดียวกับจุดสะสมและเป็นเช่นเดียวกับจุด จำกัด ที่ฉันดูทางออนไลน์และทั้งหมดนั้นคลุมเครือมาก ความสับสนประการที่สองของฉันคือขีด จำกัด ของลำดับเหมือนกับขีด จำกัด ของเซตหากไม่มีข้อพิสูจน์หรือคำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าทำไมไม่?

ฉันรู้ว่านี่อาจเป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและอาจจะไม่สำคัญสำหรับพวกคุณทุกคนที่นี่ แต่มันทำให้ฉันสับสนมาก ขอบคุณล่วงหน้า

Answer 1

จุด จำกัด เป็นสิ่งเดียวกับจุดสะสมและคำจำกัดความของมันคือ:

คะแนน $x$ เป็นจุด จำกัด ของเซต $A$ ถ้าสำหรับทุกย่าน $S$ ของ $x$ มีอยู่ $y \in S$ ดังนั้น $y \in A$, $y \neq x$.

ฉันชอบชื่อ "แต้มสะสม" เป็นอย่างยิ่งเพราะคุณไม่ได้ จำกัด ที่นี่ ... มันเป็นวิธีอื่น! เพื่อให้สามารถทำขีด จำกัด ได้โดยปกติคุณต้องมีคะแนนสะสมเนื่องจากนิยามทอพอโลยีของขีด จำกัด ต้องใช้พื้นที่ใกล้เคียงและคำนวณฟังก์ชันที่นั่น

เกี่ยวกับคำถามที่สองของคุณ:

คะแนน $x$เป็นจุดสะสมของลำดับ $\{x_n\}$ ถ้าละแวกใกล้เคียง $S$ ของ $x$ จึงมีดัชนีมากมายเหลือเฟือ $n$ ดังนั้น $x_n \in S$.

โดยพื้นฐานแล้วเป็นคำจำกัดความเดียวกับข้างต้น แต่คุณใช้ $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. อย่างไรก็ตามจุดเป็นจุดจำกัดสำหรับลำดับหากดัชนีทั้งหมดตามหลังค่าที่แน่นอน$n$อยู่ในละแวกใกล้เคียง อย่างเป็นทางการ:

คะแนน $x$ คือขีด จำกัด ของลำดับ $\{x_n\}$ ถ้าละแวกใกล้เคียง $S$ ของ $x$ เป็นเช่นนั้นเอง $N \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $x_n \in S$ สำหรับทุกอย่าง $n>N$.

และสิ่งนี้แข็งแกร่งกว่าการเป็นจุดสะสม: คุณสามารถเห็นความแตกต่างได้โดยพิจารณาจากลำดับ $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. พื้นที่ใกล้เคียงของ$1$ มีหลายจุดของลำดับนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือไฟล์ $x_{2n}$ หลังจากนั้น $n$. ในทำนองเดียวกันพื้นที่ใกล้เคียงของ$-1$ จะมีไฟล์ $x_{2n+1}$ หลังจากนั้น $n$ดังนั้นทั้งสองอย่าง $1$ และ $-1$ เป็นจุดคลัสเตอร์สำหรับ $x_n$. อย่างไรก็ตามไม่มีขีด จำกัด (ในความเป็นจริงข้อ จำกัด จะไม่ซ้ำกันหากมีอยู่)

Answer 2

มีความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด และจุด จำกัด แนวคิดนี้กำหนดไว้สำหรับลำดับและฟังก์ชัน แต่มีการกำหนดจุด จำกัด สำหรับชุดดังที่กล่าวไว้ในคำตอบข้างต้น ลำดับอาจมีจุด จำกัด แต่ไม่มีขีด จำกัด ตัวอย่างเช่นให้$\{a_n\}$ ถูกกำหนดให้เป็น $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ ที่ $a_n=1+\frac{1}{n} $ สำหรับ n คี่และ $a_n=-1+\frac{1}{n} $สำหรับคู่ ในลำดับนี้ทั้งสอง$1$ และ $-1$ เป็นจุด จำกัด แต่ลำดับไม่บรรจบกันและไม่มีขีด จำกัด