ความต่อเนื่องของการดึงกลับการเสียรูปที่ผิดปกติ
สมมติว่าเราได้รับห่วงโซ่โทโพโลยีที่นับได้ $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ และปล่อยให้ $X = \bigcup_n X_n$; และสมมติเพิ่มเติมว่าสำหรับแต่ละคน$n$ เรามีการถอนการเสียรูป $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. ฉันต้องการสร้างการถอนการเสียรูปจาก$X$ ถึง $X_0$ โดยการแสดง $F_n$ ในช่วงเวลา $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$โดยถือแต่ละจุดของ $X_{n+1} - X_n$ หยุดนิ่งนอกช่วงเวลานี้
ฉันมีปัญหาในการแสดงว่าแผนที่นี้ต่อเนื่อง เราสามารถรับความต่อเนื่องได้$X \times (0,1]$ ง่าย ๆ จากการวางคำหลัก แต่ฉันไม่รู้ว่าจะขยายเป็นทั้งหมดได้อย่างไร $X \times I$เนื่องจากพฤติกรรมแปลก ๆ ของฟังก์ชันในช่วงเริ่มต้นของช่วงเวลา
แก้ไข: เพิ่งเรียนรู้ว่าแผนที่ไม่ต่อเนื่องโดยทั่วไปปล่อยให้ $X$ เป็น CW ที่ซับซ้อนและ $X_n$เป็นโครงกระดูกที่เกี่ยวข้อง
คำตอบ
มันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไปดังนั้นคุณจะต้องคิดให้ได้ว่าสมมติฐานพิเศษใดที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์และเป็นจริงในทุกแอปพลิเคชันที่คุณมีอยู่ในใจ
สำหรับตัวอย่างง่ายๆให้ใช้ $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$ด้วยโทโพโลยีย่อย แล้วใช้เวลา$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$ยังมีโทโพโลยีซับสเปซ แต่ละ$X_n$ การเปลี่ยนรูปกลับไปที่ $(1,0)$แต่ $S^1$ ไม่เปลี่ยนรูปกลับไปที่ $(1,0)$.
ฉันจะโยนสถานการณ์ที่น่าสนใจและกว้าง ๆ ออกไปโดยทั่วไปคือที่ไหน $X$เป็น CW ที่ซับซ้อน โทโพโลยี CW สามารถใช้เพื่อแสดงว่าส่วนขยายต่อเนื่องไปยัง$X \times [0,1]$ มีอยู่