ความยาวคลื่น De Broglie ของระบบคอมโพสิต
ความยาวคลื่น De Broglie ของระบบคอมโพสิต (เช่นโมเลกุล) สามารถได้มาซึ่งตรงข้ามกับการคำนวณจากมวลคอมโพสิตหรือไม่?
แก้ไข: @Dr jh ความสัมพันธ์ที่น่าสนใจที่คุณได้รับ อย่างไรก็ตามนั่นเป็นการเขียนใหม่ของสมการ DeBroglie เดิมแม้ว่าจะใช้ตัวแปรλ De Broglie เดาวิธีแก้ปัญหาของเขาโดยตั้งค่าข้อ จำกัด เชิงสัมพัทธภาพและหาความถี่ของอนุภาคในกรอบที่เหลือเป็น f = m0c2h ฉันเดาว่าเราสามารถจัดรูปแบบคำถามของฉันได้ว่าทำไมอนุภาคถึงได้รับความถี่เช่นนี้เนื่องจากดูเหมือนว่าจะเป็นคุณสมบัติของระบบที่ถูกผูกไว้ดังนั้นเราจึงสามารถเพิกเฉยได้สักครู่ว่ามันเป็นแบบผสม ฟิสิกส์พื้นฐานอะไรที่ทำให้อนุภาคมีความถี่นี้ พูดอีกอย่างคือถ้าเรามีลูกบอลขนาดใหญ่อยู่เหนือน้ำและเห็นมันกระดกขึ้นลงเราจะถือว่ามีบางอย่างกำลังผลักมันออกไปคล้ายกับคลื่นน้ำ เราสามารถทำสิ่งที่คล้ายกันได้ที่นี่และสมมติว่าระบบที่ถูกผูกไว้ที่ได้มานั้นเป็นความถี่ของเวลาที่เหมาะสมโดยการสะท้อนไปยังคลื่นพื้นฐานในสุญญากาศหรือไม่? สิ่งที่น่าสนใจในวิธีที่ De Broglie ได้มาซึ่งโซลูชันของเขาและฉันเคยเห็นสิ่งนี้ในหนังสือ QM ที่หายากเท่านั้นคืออนุภาคมีคลื่นแบนเชิงพื้นที่ (เฟสคงที่) ที่เกี่ยวข้องซึ่งเมื่อสังเกตจากจุดของกรอบที่เคลื่อนที่ดูเหมือน a ระนาบระนาบไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ด้วย known ที่รู้จัก ไม่มีรูปคลื่นอื่นในกรอบของอนุภาคยกเว้นคลื่นเฟสคงที่จะสร้างความสัมพันธ์ดังกล่าว
คำตอบ
ความยาวคลื่น De Broglie ของระบบคอมโพสิต (เช่นโมเลกุล) สามารถได้มาซึ่งตรงข้ามกับการคำนวณจากมวลคอมโพสิตหรือไม่?
ใช่มันทำได้ นี่เป็นวัสดุมาตรฐานสำหรับอะตอมของไฮโดรเจนในตำรากลศาสตร์ควอนตัมที่เป็นของแข็งเพียงพอและการขยายไปสู่ระบบที่ใหญ่กว่านั้นตรงไปตรงมา (ส่วนใหญ่แม้ว่าจะไม่สมบูรณ์) อย่างไรก็ตามคุณต้องเริ่มจาก QM ที่เติบโตเต็มที่รวมถึงความสัมพันธ์การเปลี่ยนรูปแบบบัญญัติและสมการSchrödinger
วิธีการทำงานคือคุณเริ่มต้นด้วยสมการSchrödingerในรูปแบบ $$ \left[ \frac{\mathbf p_p^2}{2m_p} +\frac{\mathbf p_e^2}{2m_e} -\frac{e^2}{|\mathbf r_e-\mathbf r_p|} \right]\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) $$ (ที่ไหน $\mathbf p_p$ และ $\mathbf p_e$ เป็นตัวดำเนินการสำหรับโมเมนต์โปรตอนและอิเล็กตรอน) และคุณทำการเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเป็นจุดศูนย์กลางมวลและพิกัดสัมพัทธ์ \begin{align} \mathbf R & = \frac{m_p \mathbf r_p + m_e \mathbf r_e}{m_p+m_e} \\ \mathbf r & = \mathbf r_e - \mathbf r_p, \end{align} ด้วยโมเมนต์ที่สอดคล้องกัน $\mathbf P$ และ $\mathbf p$และคุณสามารถแสดงผลลัพธ์นี้ได้ $$ \left[ \frac{\mathbf P^2}{2M} +\frac{\mathbf p^2}{2\mu} -\frac{e^2}{|\mathbf r|} \right]\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) , $$ ที่ไหน $M=m_p+m_e$ คือมวลรวมและ $\mu = \frac{m_pm_e}{m_p+m_e}$ คือมวลที่ลดลง
สิ่งที่หมายความว่าพลศาสตร์แยกตัวประกอบอย่างสมบูรณ์โดยพลศาสตร์ศูนย์กลางของมวลเป็นไปตามสมการชเรอดิงเงอร์ที่ง่ายกว่าของอนุภาคอิสระ: $$ \frac{\mathbf P^2}{2M} \Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R,t) . $$ ตอนนี้ความสัมพันธ์ de Broglie (ตัวเองเข้ารหัสในความสัมพันธ์การเปลี่ยนรูปแบบบัญญัติ) บอกคุณว่า $P = h/\lambda_\mathrm{COM}$, ที่ไหน $\lambda_\mathrm{COM}$ คือความยาวคลื่น de Broglie ของจุดศูนย์กลางมวล แต่คุณก็รู้เช่นกันว่า (ในขอบเขตที่เหมาะสมที่จะพูดถึงความเร็ว) $P = M v_\mathrm{COM}$.
ความสัมพันธ์ที่คุณต้องการมาจากการรวมสองสิ่งนี้เข้าด้วยกัน
นั่นเป็นคำถามที่น่าสนใจ ความยาวคลื่น de Broglie ของวัตถุใด ๆ กำหนดโดย
$λ_c = \frac{h}{mv}$
โดยที่ m คือมวลของวัตถุ v คือความเร็วและ h คือค่าคงที่ของพลังค์ สำหรับวัตถุผสมเช่นโมเลกุลเราสามารถเพิ่มมวลเข้าด้วยกันได้ แต่ความสัมพันธ์ในการรวมความยาวคลื่นของอะตอมที่เป็นส่วนประกอบอาจซับซ้อนกว่าเล็กน้อย มาลองทำโดยการเหนี่ยวนำ กรณีสองอะตอม (สองตัว) (เช่น$NaCl$ โมเลกุล) เรารวมมวลทั้งสองของแต่ละอะตอมเข้าด้วยกัน
$m_T=m_1 + m_2$
ที่ไหน $m_T$คือมวลรวม ความสัมพันธ์ de Broglie สำหรับมวลของแต่ละอะตอมคือ:
$m_1= \large \frac{h}{λ_1v}$
$m_2= \large \frac{h}{λ_2v}$
(และเห็นได้ชัดว่าความเร็วของแต่ละองค์ประกอบนั้นเท่ากันกับความเร็วของทั้งหมด) ในขณะที่ความยาวคลื่นคอมโพสิตเดอบร็อกลีเรามี
$λ_T = \large \frac{h}{(m1+m2)v}$ = $\frac{h}{[(h/λ_1v)+(h/λ_2v)]v}$ = $\frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2}$
จากนั้นเราสามารถนำสิ่งนี้ไปใช้กับตัวเรือน 3 ตัวและสมมติว่าทั้งสององค์ประกอบรวมกันเหมือนเดิมจากนั้นเราสามารถรวมความยาวคลื่นที่สามแบบอุปนัยได้นั่นคือ
$λ_T = \large \frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2 + 1/λ_3}$
และอีกครั้งโดยการเหนี่ยวนำเราสามารถขยายสิ่งนี้เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของความยาวคลื่น de Broglie สำหรับความยาวคลื่นขององค์ประกอบ (หรืออะตอมของส่วนประกอบ) จำนวนเท่าใดก็ได้ N:
$$λ_T = \frac{1}{1/λ_1+1/λ_2+...+1/λ_N}$$
ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าคลื่น de Broglie ที่เป็นผลลัพธ์ของโมเลกุลคือผลต่างของผลรวมของความยาวคลื่น (อะตอม) ที่เป็นส่วนประกอบ นี่เป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจ
โปรดทราบว่าฟิสิกส์จะไม่อธิบาย "ทำไม" สิ่งต่างๆจึงเกิดขึ้น ฟิสิกส์จะบอกคุณว่า "สิ่ง" เกิดขึ้นได้อย่างไรโดยอาศัยการสังเกตการทดลองและสมมติฐาน คำถามของคุณเป็นเชิงปรัชญามากกว่าทางวิทยาศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องพูดว่าความเป็นคู่ของอนุภาคคลื่นเป็นหลักการสำคัญของกลศาสตร์ฟิสิกส์ / ควอนตัมสมัยใหม่ สสารทั้งหมดแสดงพฤติกรรมเหมือนคลื่น ลำแสงอนุภาคเช่นอิเล็กตรอนจะหักเหหรือรบกวนในลักษณะเดียวกับที่คลื่นน้ำสามารถทำได้ มันเป็นสมมติฐานของเดอบร็อกลีที่ว่าสสารจะมีพฤติกรรมเหมือนคลื่น แค่นั้นแหละ. พฤติกรรมนี้เห็นได้ชัดในระดับควอนตัมและสำหรับวัตถุขนาดใหญ่นั้นมีความสำคัญเล็กน้อย การเปรียบเทียบของคุณกับ "ลูกโบว์ลิ่งที่ลอยอยู่บนคลื่นน้ำ" เป็นไปตามข้อสันนิษฐานที่ไม่ถูกต้อง วัตถุควอนตัมเช่นโฟตอนไม่จำเป็นต้องมีตัวกลางในการแสดงพฤติกรรมคล้ายคลื่น (คำถามของคุณดูเหมือนจะชวนให้นึกถึงคำถามของ Michelson-Morley ซึ่งมีการทดลองแล้วว่าแสงไม่จำเป็นต้องมีสื่อกลางในการแพร่กระจาย) ไม่มี "การสะท้อนไปยังคลื่นที่อยู่ในสุญญากาศ" อย่างที่คุณวางไว้
บางทีคุณอาจจะดูเป็นนักบินทฤษฎีคลื่นหรือกลศาสตร์ Bohmian นี่เป็นทางเลือกที่กำหนดได้อย่างสมบูรณ์สำหรับทฤษฎีควอนตัมที่ยอมรับในปัจจุบัน ทฤษฎีนี้ไม่ได้รับการยอมรับจากฟิสิกส์กระแสหลักและเข้ากันไม่ได้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพ เป็นเรื่องที่น่าสนใจแม้ว่า