กลุ่ม Fuchsian สกุลบวก

Question

ปล่อย $G$ เป็นตาข่าย $SL(2,\mathbb{R})$. เป็นความจริงเสมอที่มีกลุ่มย่อยดัชนี จำกัด$F$ ของ $G$ ดังนั้นพื้นผิวผลหาร $\mathbb{H}/F$มีสกุลบวก? ข้อความดังกล่าวเป็นจริงภายใต้สมมติฐานทั่วไปเพียงพอหรือไม่? กรุณาเพิ่มข้อมูลอ้างอิงได้ไหม

Answer 1

ใช่นี่เป็นความจริง แต่การพิสูจน์นั้นง่ายกว่าการหาข้อมูลอ้างอิง

1. ทุกกลุ่มเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นอย่างประณีต (เช่นแลตทิซใน $PSL(2, {\mathbb R})$มีกลุ่มย่อยที่ปราศจากแรงบิด ผลลัพธ์ทั่วไปเกิดจาก Selberg แต่สำหรับกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของ$PSL(2, {\mathbb R})$ มันเป็นที่รู้จักมาก่อนหน้านี้อย่างแน่นอน

2. ในมุมมองของ 1 มันเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าทุกพื้นผิว $S$ homeomorphic เป็นทรงกลม 2 มิติด้วย $n\ge 3$ การเจาะยอมรับการครอบคลุมที่ จำกัด $S'\to S$ ดังนั้น $S'$มีสกุลบวก สมมติก่อนว่า$n$เป็นเรื่องแปลก การเจาะรอบทิศทาง$p_i$ โดยลูปเล็ก ๆ $c_i$. ฉันจะคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นองค์ประกอบของ$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. ตอนนี้ให้พิจารณา homomorphism$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ โดยที่ลูกศรแรกคือ Hurewicz และลูกที่สองส่ง $[c_1], [c_2]$ ถึง $1$ และส่วนที่เหลือ $[c_i]$ถึง $0$. ใช้ฝาปิด 2 เท่า$S_1\to S$ ตรงกับเคอร์เนลของ $\alpha$. แล้ว$S_1$ คือ $2+ 2(n-2)$- ครั้งทรงกลมเจาะ ดังนั้นปัญหาจะลดลงเป็นกรณีของทรงกลมที่มีจำนวนการเจาะเท่ากัน

3. ปล่อย $S$ เป็น $S^2$ ด้วย $n=2k\ge 4$เจาะ ในทำนองเดียวกันกับ (2) กำหนด homomorphism$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
   ที่ลูกศรที่สองส่งทั้งหมด $[c]_i$ไปยังองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ ${\mathbb Z}_2$. ปล่อย$S'\to S$ แสดงถึงการครอบคลุม 2 เท่าที่สอดคล้องกับเคอร์เนลของ $\beta$. แล้ว$S'$ จะมี $2k$ การเจาะและสกุล $k-1>0$. (นี่คือแบบฝึกหัดในโทโพโลยีของพื้นผิวการขยายตามธรรมชาติของ$S'\to S$ไปยังพื้นผิวที่มีขนาดกะทัดรัดเรียกว่ารูปทรงกลมบนแผนที่ )

แก้ไข. 1. หากคุณต้องการข้อมูลอ้างอิงผลลัพธ์ที่ดีที่สุดจะอยู่ใน

เอ็ดมันด์อัลลันแอล; อีวิง, จอห์นเอช; Kulkarni, Ravi S. , กลุ่มย่อยที่ไม่มีแรงบิดของกลุ่ม Fuchsian และการเทสเซลล์ของพื้นผิว , Invent. คณิตศาสตร์. 69, 331-346 (2525) ZBL0498.20033

สามารถระบุได้ว่า: สมมติว่า $F_1, F_2$ มีช่องว่างใน $G=PSL(2, {\mathbb R})$. แล้ว$F_2$ ฝังใน $F_1$ (เป็นกลุ่มนามธรรม) พร้อมดัชนี $k$ในกรณีที่เงื่อนไข Riemann-Hurwitzเป็นที่พอใจ:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
เมื่อคุณคลี่คลายคำจำกัดความแล้วก็แสดงถึงคำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามประเภทบวก

1. เพื่อที่จะใช้ผลลัพธ์ของพวกเขาเราจำเป็นต้องรู้ (และพวกเขายอมรับว่ามันเป็นสิ่งที่ได้รับ) ว่าทุกตาข่ายเข้ามา $G$ มีการนำเสนอ $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$งานนำเสนอนี้สามารถพบได้ในเอกสารของ Poincare เกี่ยวกับฟังก์ชัน Fuchsian จริง ๆ แล้วเขามีหลักฐานหรือไม่นั้นยากที่จะบอกได้ (สิ่งนี้ใช้ได้กับทุกสิ่งที่เขียนโดย Poincare ที่ฉันพยายามอ่าน แต่คนอื่นอาจไม่เห็นด้วย) แต่เขามีเครื่องมือในการพิสูจน์ผลลัพธ์คือโดเมนพื้นฐานนูน มีแนวโน้มที่จะพบหลักฐานที่มั่นคงกว่าในเอกสารของ Dehn (ฉันไม่ได้ลอง) ข้อมูลอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดที่ฉันรู้สำหรับการมีอยู่ของชุดการสร้างที่ จำกัด สำหรับการขัดแตะ$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ คือ

ซีเกล, คาร์ลลุดวิก , ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง , แอน. คณิตศาสตร์. (2) 46, 708-718 (2488) ZBL0061.04505 .

ไม่น่าแปลกใจที่ซีเกลใช้รูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์: เขาพิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานด้านที่ละเอียดและด้วยเหตุนี้จึงสรุปขอบเขตบนที่ชัดเจนของจำนวนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าในแง่ของพื้นที่ของผลหาร ${\mathbb H}^2/\Gamma$. ทฤษฎีบทความวิจิตรนี้มีลักษณะทั่วไปมากกว่ามากสำหรับการขัดแตะในกลุ่มการโกหกที่เชื่อมต่อกัน แต่นี่เป็นอีกเรื่องหนึ่ง (ซึ่งมีประวัติที่ซับซ้อนจนถึงจุดที่ไม่ชัดเจนว่าใครจะให้เครดิตกับสิ่งนี้ผลลัพธ์ที่เป็นพื้นฐานอย่างชัดเจน) สิ่งหนึ่งที่ฉันไม่แน่ใจคือ:

ในขณะที่ทราบการมีอยู่ของเซตการสร้างแบบ จำกัด สำหรับการขัดแตะในกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันเป็นที่ทราบกันดีฉันไม่ทราบการอ้างอิงที่ชัดเจนไปยังขอบเขตบนที่ชัดเจนเกี่ยวกับจำนวนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าในแง่ของปริมาตรของผลหาร (ในกรณีที่ไม่มีแรงบิด) .

1. เกี่ยวกับ "การคาดเดาของเฟนเชล" ที่แต่ละตาข่ายใน $G=PSL(2, {\mathbb R})$มีกลุ่มย่อยที่ไม่มีแรงบิดของดัชนี จำกัด : เรื่องราวค่อนข้างแปลกประหลาด เมื่อการคาดเดาถูกระบุครั้งแรกนั้นยาก / เป็นไปไม่ได้ที่จะบอก มีการกล่าวถึงในกระดาษของ Nielsen

J. Nielsen, Kommutatorgruppen สำหรับการผลิตโดยใช้ cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift B (1948), หน้า 49-56

กระดาษของ Nielsen น่าทึ่งไม่มีการอ้างอิงใด ๆ

อย่างไรก็ตามเมื่อถึงเวลาที่กระดาษของ Nielsen ปรากฏการคาดเดาของ Fenchel ได้รับการพิสูจน์แล้ว หลักฐานส่วนใหญ่อยู่ใน:

Mal'tsev, AI , เกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยเมทริกซ์ , Am. คณิตศาสตร์. Soc., แปล, II. Ser. 45, 1-18 (2508); แปลจาก Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (2483) ZBL0158.02905

ตอนนี้แต่ละตาข่าย $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ ถูกสร้างขึ้นอย่างประณีตและมีจำนวนมากเท่านั้น $\Gamma$คลาส -conjugacy ขององค์ประกอบลำดับ จำกัด (อย่างน้อยที่สุดก็มาจากทฤษฎีบทของ Siegel เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานซึ่งอย่างที่ฉันบอกว่าน่าจะเป็นที่รู้จักกันในชื่อ Poincare) ทฤษฎีบทของ Mal'tsev บอกเป็นนัยว่าถ้า$\Gamma$ คือกลุ่มเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นอย่างประณีตจากนั้นสำหรับทุกคอลเลกชันที่ไม่สำคัญทั้งหมด $\Gamma$-conjugacy ชั้นเรียน $C_1,...,C_k$มีกลุ่มย่อย จำกัด ดัชนี $\Gamma'< \Gamma$ ไม่ปะติดปะต่อจาก $C_1,...,C_k$. โดยการรวมสองผลลัพธ์ทุกตาข่ายเข้า$G=PSL(2, {\mathbb R})$ ประกอบด้วยกลุ่มย่อยที่ไม่มีแรงบิดของดัชนี จำกัด

วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของ Fenchel ถูกอ้างสิทธิ์โดย Fox in

Fox, Ralph H. , เกี่ยวกับการคาดเดาของ Fenchel เกี่ยวกับ (F) -groups, Mat. ทิดสคร. พ.ศ. 2495, 61-65 (2495) ZBL0049.15404

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่รู้เรื่องกระดาษของ Mal'tsev การแก้ปัญหาของ Fox กลายเป็นข้อผิดพลาดบางส่วนโดยมีการแก้ไขข้อผิดพลาด (ในกรณีใดกรณีหนึ่ง) ใน:

Chau, TC , หมายเหตุเกี่ยวกับเอกสารของ Fox เกี่ยวกับการคาดเดาของ Fenchel , Proc น. คณิตศาสตร์. Soc. 88, 584-586 (2526) ZBL0497.20035

เมื่อถึงเวลานั้น (23 ปีก่อนหน้านี้) Selberg ได้พิสูจน์ให้เห็นถึงผลลัพธ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นใน:

Selberg, Atle , ในกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องในช่องว่างสมมาตรมิติที่สูงขึ้น, Contrib ทฤษฎีฟังก์ชัน Int. Colloqu. บอมเบย์ ม.ค. 1960, 147-164 (1960) ZBL0201.36603

Selberg พิสูจน์แล้วว่าแต่ละกลุ่มเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นอย่างประณีตประกอบด้วยกลุ่มย่อยที่ไม่มีแรงบิดของดัชนี จำกัด Selberg ยังไม่รู้ถึงกระดาษของ Mal'tsev แต่อย่างน้อยเขาก็ไม่ได้เปลี่ยนสิ่งที่มีอยู่แล้ว สิ่งนี้คือกลุ่มเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นอย่างประณีต$\Gamma$ สามารถมีได้มากมาย $\Gamma$-conjugacy คลาสของกลุ่มย่อย จำกัด ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ผลลัพธ์ของ Mal'tsev ได้

Answer 2

ข้อสังเกตเกี่ยวกับขั้นตอนที่ (1) ในบทพิสูจน์ของ Moishe Kohan ปัญหานี้ (ในการค้นหาดัชนี จำกัด กลุ่มย่อยที่ไม่มีแรงบิดของโครงตาข่ายใน$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) เรียกว่า "Fenchel's Conjecture" ได้รับการแก้ไขโดย Ralph H. Fox ดูกระดาษของเขา:

เกี่ยวกับการคาดเดาของ Fenchel เกี่ยวกับ F-Groups

และงานในภายหลัง (สำหรับการพิสูจน์อื่น ๆ และสำหรับการแก้ไขงานก่อนหน้านี้)