กลุ่มเล็ก ๆ แทบกลุ่ม (เกี่ยวข้องกับ 3-manifolds)
ฉันกำลังมองหาเหตุผลว่าทำไมกลุ่ม 3 ท่อ $G$ ที่เป็นจริง $\mathbb{Z}\times F$, $F$ไม่ว่าจะเป็นแบบไม่เป็นวัฏจักรหรือกลุ่มพื้นผิวไม่ยอมรับการนำเสนอบนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่อง
เหล่านี้เป็นกลุ่มพื้นฐานของ 3-Manifolds ที่ปิดด้วย $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ เรขาคณิต (ขอบคุณ @HJRW ที่ชี้ให้เห็นว่ากรณีขีดฆ่าด้านบนสอดคล้องกับขอบเขตที่ไม่ว่างเปล่า) และปรากฎว่ารูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ทั้งหมดยอมรับตัวอย่างที่มีกลุ่มพื้นฐานของอันดับที่สองโดยมีจุดเด่นที่โดดเด่นของรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งเป็นพื้นฐานทั้งหมด กลุ่มแทบ $\mathbb{Z}^3$(และจัดอันดับสองตัวอย่างเป็น Fibonacci manifolds) ดังนั้นกลุ่ม 3 กลุ่มจึงยอมรับตัวอย่างของกลุ่มที่มีอันดับสูงแทบจะเป็นกลุ่มเล็ก ๆ แน่นอนว่าเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากลุ่มที่ไม่เสียค่าใช้จ่ายบนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่องนั้นแทบจะมีอันดับสูงตามอำเภอใจ
อย่างไรก็ตามโดยBoileau & Zieschang , Theorem 1.1, อันดับของ$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ ความหลากหลายขึ้นอยู่กับสกุลของพื้นผิวฐานและจำนวนเส้นใยเอกพจน์ของ Seifert fibration (และอย่างน้อย 3) ดังนั้นการเป็นจริง $\mathbb{Z}\times F$ บังคับให้กลุ่มมีอันดับเดียวกันเป็นอย่างน้อย
อะไรคือสาเหตุที่ทำให้กลุ่มย่อยนี้เชื่อมโยงอันดับของกลุ่มแวดล้อมจากด้านล่างและกล่าวว่ากลุ่มอิสระหรือฟรีอาเบเลียน $\mathbb{Z}^3$อย่า? ฉันจะมีความสุขถ้ามีเหตุผล 3 มิติทางเรขาคณิตในการเล่นที่นี่ แต่จะขอบคุณสำหรับการรีเฟรชทฤษฎีกลุ่มทั่วไปของฉันเช่นกัน
คำตอบ
คำถามเกิดจากการตีความทฤษฎี 1.1 ผิดพลาดในกระดาษโดย Boileau และ Zieschang ทฤษฎีบท 1.1 ไม่รวมกรณีจำนวนพอสมควรโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ใช้กับท่อร่วม Seifert แบบปิด (เชิงทั้งหมด) ที่มีเส้นใยเอกพจน์ 3 เส้นและฐานของสกุล 0 บางส่วนของท่อร่วม Seifert ที่ยกเว้นเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่โต้แย้งในการอ้างสิทธิ์ของคุณเกี่ยวกับอันดับ$\ge 3$.
ตัวอย่างเช่นใช้ภายนอก $N$ ของก $(p,q)$- ปมพรูซึ่งไม่สำคัญและไม่ใช่พระฉายาลักษณ์ สกุลของปมนี้คือ$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(เพราะฉันไม่รวมพระฉายาลักษณ์ซึ่งมีสกุล 1) ท่อต่างๆ$N$ คือมัดพื้นผิวเหนือวงกลมที่มีเส้นใย $F$ เป็นพื้นผิวที่เจาะครั้งเดียวของสกุล $g$. monodromy ของ fibration นี้เป็นคำสั่งที่ จำกัด (อันที่จริงคำสั่งคือ$pq$) homeomorphism $h: F\to F$. ดังนั้นหากเรายุบขอบเขตของ$F$ เพื่อชี้ให้เห็นว่าเราได้รับพื้นผิวปิด $S$ ของสกุล $g$ และ $h$ จะแสดงให้เห็นถึง homeomorphism ที่มีระเบียบ จำกัด $f: S\to S$. การทำแผนที่พรู$M=M_f$ เป็นท่อร่วมชนิด Seifert ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ ได้รับจาก Dehn เติมขอบเขตของ $N$. ฐานของ Seifert fibration จะมีจุดเอกพจน์สามจุดและสกุล 0: เส้นใยเอกพจน์สองเส้นมาจาก$N$ และหนึ่งมาจากพรูแข็งที่ติดอยู่กับ $\partial N$อันเป็นผลมาจากการเติม Dehn ของเรา (เป็นความจริงทั่วไปที่การทำแผนที่ torus ของ homeomorphism ลำดับ จำกัด ของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกเป็นชนิดของ Seifert${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) ตั้งแต่กลุ่ม $\pi_1(N)$ ถูกสร้างขึ้น 2 กลุ่มคือกลุ่มผลหาร $\pi_1(M)$ ยังถูกสร้างขึ้น 2 รายการ