กลุ่มที่สามารถแก้ไขได้ จำกัด ที่ไม่สำคัญมีกลุ่มย่อยของดัชนีกำลังเฉพาะสำหรับตัวหารไพรม์แต่ละตัวหรือไม่?
เป็นที่ทราบกันดีว่าทุกกลุ่มย่อยสูงสุดของ $G$ เป็นดัชนีกำลังหลักถ้า $G$ เป็นกลุ่มที่สามารถแก้ไขได้ไม่สำคัญ
คำถามของฉันคือเราพิสูจน์ได้ไหมว่าสำหรับแต่ละไพรม์$r\in\pi(G)$ มีกลุ่มย่อยสูงสุดของ $G$ ของดัชนีพลังของ $r$เหรอ?
ฉันพยายามพิสูจน์ แต่พบว่าฉันทำผิดพลาดในการพิสูจน์ของฉัน นี่คือความพยายามของฉัน:
กำหนด $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ เราอ้างว่า $\pi^*$เป็นชุดว่าง สมมติว่า$\pi^*$ไม่ว่างเปล่า จากนั้นดัชนีของกลุ่มย่อยสูงสุดคือพลังของ primes ใน$\pi(G)\setminus\pi^*$. ใช้ Sylow$q$- กลุ่มย่อย $S_q$ แต่ละ $q\in\pi(G)$. สำหรับ$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$ใช้กลุ่มย่อยสูงสุดโดยพลการ $M$ ของ $G$ ดังนั้น $|G:M|$ เป็นพลังของ $p$. เรามี$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ ก็บอกเป็นนัยว่า $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ ไม่มีอยู่ในกลุ่มย่อยสูงสุดของ $G$. แต่$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ มีอยู่ในไฟล์ $G$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง
ความผิดพลาดของฉัน :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยของ $G$ดังนั้นในความเป็นจริงฉันไม่สามารถมีความขัดแย้งใด ๆ
ขอความคิดเห็นหน่อยได้ไหม ฉันคิดว่าบางทีฉันควรพิสูจน์ด้วยวิธีอื่น ขอความช่วยเหลือใด ๆ ขอบคุณ!
คำตอบ
นี่คือทฤษฎีบทของ Hall เกี่ยวกับกลุ่มที่ละลายน้ำได้ มันระบุ:
กลุ่ม จำกัด สามารถละลายได้ถ้าและต่อเมื่อสำหรับแต่ละกลุ่ม $p\mid |G|$มี $p'$- กลุ่มย่อย $H$ ซึ่งดัชนีเป็นพลังของ $p$.
กลุ่มย่อย $H$ ดังนั้น $|H|$ และ $|G:H|$coprime เรียกว่ากลุ่มย่อย Hallและถ้า$\pi$ คือชุดของช่วงเวลาเช่นนั้น $p\in \pi$ หาร $|G|$ ถ้ามันหารด้วย $|H|$แล้ว $H$ เป็นห้องโถง $\pi$- กลุ่มย่อย
การพิสูจน์สิ่งนี้โดยไม่มีคำใบ้ถือเป็นความท้าทายเล็กน้อย คุณสามารถค้นหาในหนังสือเรียนที่คุณชื่นชอบหรือทำตามโครงร่างด้านล่างเพื่อดูทิศทางเดียว ปล่อย$\pi$ เป็นชุดของช่วงเวลาและเรามุ่งมั่นที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของห้องโถง $\pi$- กลุ่มย่อยใน $G$.
- ปล่อย $K$ เป็นกลุ่มย่อยปกติขั้นต่ำของ $G$. ถ้า$K$ คือ $\pi'$- กลุ่มย่อยแล้วทุกอย่างจะเสร็จสิ้น
- ถ้า $K$ คือ $p$- กลุ่มย่อยสำหรับ $p\in \pi$จากนั้นคุณสามารถใช้ทฤษฎีบท Schur-Zassenhaus กับภาพจำลองของห้องโถง $\pi$- กลุ่มย่อยใน $G/K$.
คุณสามารถดูหลักฐานฉบับเต็มได้ที่นี่หน้า 28
ใช่สำหรับทุกชุดของ primes กลุ่มที่สามารถแก้ไขได้ จำกัด จะมีกลุ่มย่อยของ Hall ที่มีลำดับหารด้วยไพรม์เหล่านี้เท่านั้นและดัชนีเหล่านี้ไม่สามารถหารด้วยค่าใด ๆ ได้ ตอนนี้ใช้ชุดของไพรม์ทั้งหมดซึ่งแบ่งลำดับของกลุ่ม แต่เป็นหนึ่ง กลุ่มย่อย Hall ที่เกี่ยวข้องคือสิ่งที่คุณต้องการ
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup