ลำดับของ epimorphisms ของกลุ่ม จำกัด ที่เหลือจะคงที่
ปล่อย $G_1 \to G_2 \to \cdots$เป็นลำดับของ epimorphisms ของกลุ่ม จำกัด ที่เหลือที่สร้างขึ้นอย่างประณีต ในที่สุดมันคงที่หรือไม่? นั่นคือทั้งหมด แต่มีหลาย epimorphisms จริง ๆ แล้ว isomorphisms หรือไม่?
โปรดทราบว่ากลุ่ม จำกัด ที่เหลือที่สร้างขึ้นอย่างประณีตคือ Hopfian ดังนั้นสิ่งนี้จึงไม่รวมตัวอย่างการตอบโต้อย่างง่ายของแต่ละกลุ่ม $G_i$ เป็นกลุ่มคงที่และแต่ละ epimorphisms จะถูกกำหนดไว้ที่ตัวเอง
ผลคล้ายถือเมื่อกลุ่มที่มี residually ฟรี: นี่คือโจทย์ 6.8 ใน Charpentier Guirardel "กลุ่ม จำกัด เป็นข้อ จำกัด ของกลุ่มฟรี" การพิสูจน์ใช้เฉพาะข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มที่ไม่มีสารตกค้างนั้นเป็นสารตกค้าง$SL_2(\mathbb{C})$และดูเหมือนว่าจะสามารถปรับให้เข้ากับแต่ละกรณีได้ $G_i$ ตกค้าง $GL_n(\mathbb{C})$ สำหรับการแก้ไข $n$. ดูเหมือนว่าไม่น่าจะเป็นไปได้ที่สิ่งนี้จะถือได้สำหรับกลุ่มที่มีขอบเขต จำกัด ทั่วไป: ทฤษฎีบทจอร์แดน - ชูร์แสดงให้เห็นว่าสำหรับกลุ่ม จำกัด ทั่วไประดับต่ำสุด$n$ ที่ฝังเข้าไป $GL_n(\mathbb{C})$ สามารถมีขนาดใหญ่โดยพลการ
มีวิธีอื่นในการปรับเปลี่ยนการพิสูจน์หรือไม่? มีตัวอย่างการตอบโต้หรือไม่?
คำตอบ
คำตอบคือ "ไม่" กลุ่มโคมไฟ (ซึ่งนำเสนออย่างไม่มีที่สิ้นสุด) คือขีด จำกัด ของลำดับของกลุ่มที่เป็นอิสระและ homomorphisms ที่คาดเดาได้ (ดูตัวอย่างเช่นคำถามนี้และคำตอบที่นั่น ) แทบทุกกลุ่มที่ไม่เสียค่าใช้จ่ายจะเหลืออยู่อย่าง จำกัด
ในหลอดเลือดดำเดียวกับคำตอบของ dodd ตัวอย่างตอบโต้สามารถอนุมานได้จากกลุ่ม Houghton ที่สอง $H_2$ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มของอคติ $L^{(0)} \to L^{(0)}$ ที่เก็บรักษา adjacency และ non-adjacency สำหรับจุดยอดทั้งหมดยกเว้นคู่ที่แน่นอนในเส้น bi-infinite $L$. การนำเสนอของ$H_2$ คือ $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ ที่ไหน $t$ สอดคล้องกับการแปลหน่วยและ $\sigma_i$ เพื่อการเปลี่ยนแปลง $(i,i+1)$. ตอนนี้ตัดการนำเสนอและกำหนด$G_n$ ผ่าน $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ โดยใช้ความสัมพันธ์ $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ เพื่อที่จะถอดเครื่องกำเนิดไฟฟ้า $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ และ $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$เราพบการนำเสนอต่อไปนี้ของ $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ สังเกตได้จากการนำเสนอครั้งนี้ว่า $G_n$ สลายตัวเป็นส่วนขยาย HNN ของ $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ ซึ่งกลายเป็นไอโซมอร์ฟิกของกลุ่มสมมาตร $\mathfrak{S}_{n+2}$โดยที่ตัวอักษรคงที่ผัน $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ ถึง $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. ดังนั้นในฐานะที่เป็นส่วนขยาย HNN ของกลุ่ม จำกัด$G_n$ ต้องฟรีจริง
สรุปก็คือแผนที่ผลหารที่เป็นที่ยอมรับ $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ กำหนดลำดับของ epimorphisms ระหว่างกลุ่มอิสระที่ไม่มีเสถียรภาพ
หมายเหตุ:โดยการทำซ้ำอาร์กิวเมนต์ข้างต้นเกือบจะเป็นคำต่อคำกับกลุ่ม lamplighter$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ แทนที่จะเป็นกลุ่ม Houghton $H_2$ให้ข้อสรุปเดียวกัน เหตุผลก็คือกลุ่มเหล่านี้มีโครงสร้างที่คล้ายคลึงกัน: มีรูปแบบ$C \rtimes \mathbb{Z}$ สำหรับกลุ่ม Coxeter ที่ จำกัด เฉพาะบางกลุ่ม $C$ ที่ไหน $\mathbb{Z}$ ทำหน้าที่ $C$ ผ่านไอโซเมตริกของการกำหนดกราฟ $C$. (พูดแบบหลวม ๆ กลุ่มอื่น ๆ ทั้งหมดของแบบฟอร์มนี้สามารถกู้คืนได้จาก$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ และ $H_2$ดังนั้นจึงไม่มีตัวอย่างอื่นที่น่าสนใจในทิศทางนี้)