ลักษณะออยเลอร์ของสี่เหลี่ยมคืออะไร? (ความสับสนกับทฤษฎีบท Gauss-Bonnet)
Highschooler ที่นี่พยายามที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับลักษณะของออยเลอร์ความโค้งแบบเกาส์เซียนและทฤษฎีบท Gauss-Bonnet ที่เชื่อมโยงพวกมันเข้าด้วยกัน
ตามทฤษฎีบท Gauss-Bonnet: ความโค้งทั้งหมด $= 2 \pi \times$ ลักษณะของ euler
นี่คือความสับสนของฉัน สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่นกระดาษแผ่นเรียบ) มีความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นศูนย์ แต่ทำตามสูตร$\chi = V - E + F$ฉันคำนวณว่าลักษณะออยเลอร์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $1$.
เนื่องจากจุดยอด $V = 4$, ขอบ $E = 4$ และใบหน้า $F = 1$. ดังนั้น$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$.
ผมจึงได้สมการ $0 = 2\pi 1$เช่น $0 = 2\pi$.
ความผิดพลาดของฉันอยู่ที่ไหน
คำตอบ
ความยากประการแรกคือทฤษฎีบท Gauss-Bonnet เวอร์ชันที่คุณดูเหมือนจะใช้สำหรับท่อร่วม 2 ท่อขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต ทรงกลมเป็นท่อร่วม 2 ท่อขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต ขอบเขตของลูกบาศก์ (หกเหลี่ยมติดอยู่ตามขอบ) เป็นท่อร่วม 2 ช่องขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ถูกปิดเนื่องจากคุณบอกว่าจุดยอดและขอบเป็นส่วนหนึ่งของท่อร่วม) คือท่อร่วม 2 ช่องขนาดกะทัดรัดที่มีขอบเขต
ในการอธิบายความหลากหลายมักจะละเว้น "ไม่มีขอบเขต" โดยปกติจะมีคำว่า "มีขอบเขต" สถานะเริ่มต้นของท่อร่วมไอดีคือไม่มีขอบเขต
มีเวอร์ชันของ Gauss-Bonnett สำหรับ 2 ท่อร่วมขนาดกะทัดรัดที่มีขอบเขต $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$โดยที่อินทิกรัลแรกเป็นของความโค้งแบบเกาส์เซียนเหนือพื้นผิวและอินทิกรัลที่สองคือความโค้งของธรณีประตูบนขอบเขต
สี่เหลี่ยมปิดเป็น homeomorphic ของดิสก์ปิด ขอบเขตของดิสก์ที่ปิดเป็นวงกลม ความโค้งทางภูมิศาสตร์ของขอบเขตวงกลมของดิสก์จะวัดว่าเส้นโค้งนั้นปิดในลักษณะเดียวกันกับวงกลมเท่าใด (เท่าที่ความโค้งแบบเกาส์เซียนจะวัดว่าพื้นผิวที่ปิดขึ้นในลักษณะเดียวกันกับทรงกลม) แน่นอนว่าวงกลมจะปิดแบบเดียวกับที่วงกลมวงหนึ่งทำดังนั้นอินทิกรัลนี้จึงมีส่วนช่วย$2\pi$ ทางด้านซ้ายมือเมื่อคุณศึกษาดิสก์ปิดหรือสี่เหลี่ยมปิด
(มีความละเอียดอ่อนตรงนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะรวมความโค้ง "ภายนอก" ที่เกิดจากการฝังเฉพาะกับความโค้งของ geodesic ("intrinsic") เราสามารถฝังวงกลมของเราตามการหมุนของเกลียวหลายรอบจากนั้นจึงอยู่นอกเกลียวกลับไปที่ที่เรา เริ่มต้น. ฝังนี้มีจำนวนมากของความโค้ง แต่วงกลมเป็นเพียงวงกลม ... )
ปัญหาที่สำคัญน้อยกว่าคือสี่เหลี่ยมจะดูแบนเมื่อคุณฝังลงไปในลักษณะเฉพาะเท่านั้น คุณสามารถม้วนสี่เหลี่ยมให้เป็นหลอดซึ่งไม่แบน คุณยังสามารถงอท่อนี้ไปรอบ ๆ เพื่อให้ปลายบรรจบกัน - ซึ่งไม่แบนอีกแล้ว
ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเราติดขอบด้านบนและด้านล่างเข้าด้วยกัน [*] จากนั้นกาววงกลมใหม่ทั้งสองเข้าด้วยกันเราจะได้ท่อร่วม 2 อันขนาดกะทัดรัด (ไม่มีขอบเขต) วัตถุนี้เป็นพรู เนื่องจากการติดกาวจุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจึงถูกติดไว้ในจุดยอดเดียวและขอบทั้งสองคู่ตรงข้ามของสี่เหลี่ยมติดกาวเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์มีจุดยอดหนึ่งจุดสองขอบและหนึ่งใบหน้าโดยมีลักษณะออยเลอร์เป็นศูนย์และความโค้งรวมเป็นศูนย์
ศูนย์นี้คือสิ่งที่คุณคาดหวังสำหรับสี่เหลี่ยมแบน อาจเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจที่การฝังของเราต้องแสดง "ความโค้ง" ทั้งหมดของทอรัสเพื่อให้ได้ความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นศูนย์ แต่ "ความโค้ง" ทั้งหมดนั้นเป็นความโค้งภายนอก
[*] เราควรระมัดระวังเกี่ยวกับวิธีการติดกาวนี้ สำหรับคู่แรกของขอบที่เราควรจะทากาวเพื่อที่จะได้รับห่วงไม่ได้เป็นแถบอุซ สำหรับการติดกาวของวงกลมถ้าเราติดกาวแบบเดียวกับการติดกาวครั้งแรกเราจะได้รับทอรัส ถ้าเรากาว "วิธีอื่น ๆ" เราได้รับขวด Klein แน่นอนว่าขวดไคลน์ที่มีความโค้งคงที่นั้นแบนดังนั้นจึงมีความโค้งแบบเกาส์เป็นศูนย์
ความสำเร็จของทฤษฎีบท GB คือการเชื่อมโยงความโค้งทั้งหมดของพื้นผิว $S$ ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งบางส่วน $c$ ถึง (i) โทโพโลยีของ $S$และ (ii) ความโค้ง "ตาม $c$"สำหรับพื้นผิวปิดซึ่งไม่มีขอบเขต" ความโค้งตาม $c$"เทอมลงท้ายด้วยศูนย์เราจึงได้ความสัมพันธ์ระหว่างความโค้งทั้งหมดของ $S$ และโทโพโลยีของ $S$ --- สิ่งที่คุณอ้างว่าเป็นทฤษฎีบท GB
สำหรับพื้นผิวที่มีขอบเขตคุณต้องรวมความโค้งตามแนวเขตและหากขอบเขตมี "มุม" คุณจะต้องใส่ "ความโค้ง" ไว้ที่นั่นด้วย คุณจะดูความโค้งสามแบบ:
ความโค้งที่ "มุม" ของขอบเขตคือสิ่งของ 0 มิติ
ความโค้งตามส่วนโค้งของขอบเขตกล่าวคือสิ่ง 1 มิติ
ความโค้งเหนือพื้นผิวภายในกล่าวคือสิ่ง 2 มิติ
และผลรวมเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับวัตถุทอพอโลยีสามชนิด:
จำนวนสิ่งของ 0 มิติ (จุดยอด)
จำนวนสิ่งของ 1 มิติ (ขอบ)
จำนวนของสิ่ง 2 มิติ (ใบหน้า)
ให้ความสมมาตรที่น่าสนใจระหว่างผลรวมทั้งสอง
ฉันจะไม่เขียนสูตรออกไปเพราะการทำให้ถูกต้องจำเป็นต้องมีการวางแนวให้ถูกต้องและนั่นเป็นงานที่ฉันต้องใช้กระดานดำแทนข้อความ แต่การมีส่วนร่วม 0 มิติต่อความโค้งคือ "มุมภายนอก" ที่จุดยอด และที่ชื่นชอบ "พกไว้ในกระเป๋าเพื่อให้จำได้" ตัวอย่างประกอบด้วยสามเหลี่ยมบนพื้นผิวโลก:
ขั้วโลกเหนือ $N$คือจุดยอดหนึ่ง ขอบขยายจากกรีนิชสหราชอาณาจักรไปยังจุดหนึ่ง$G$บนเส้นศูนย์สูตร อีกส่วนหนึ่งขยายผ่านกัวเตมาลา (ลองจิจูด 90W) ไปยังจุดหนึ่ง$A$บนเส้นศูนย์สูตร และส่วนโค้ง 90 องศาของเส้นศูนย์สูตรจาก$A$ ถึง $G$ทำให้สามเหลี่ยมเสร็จสมบูรณ์ มี 3 จุดยอด 3 ขอบหนึ่งหน้าดังนั้น$V-E+F = 1$. นั่นคือด้านโทโพโลยี ใน "ด้านเรขาคณิต" ความโค้งทั้งหมดของทรงกลมคือ$4\pi$ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้ซึ่งก็คือ $1/8$ ของทรงกลมมีความโค้งทั้งหมด $\frac12 \pi$. ขอบแต่ละด้านของสามเหลี่ยมเป็นรูปธรณีสัณฐานดังนั้นจึงไม่มีความโค้งตามพื้นผิว และที่จุดยอดแต่ละจุดมุมภายนอกคือ 90 องศากล่าวคือ$\pi/2$รวมเป็น $3\pi/2$ที่จุดยอด การเพิ่มความโค้งของพื้นผิวและการลบความโค้งขอบ (ศูนย์) เราได้$2\pi$ซึ่งแน่นอน $2\pi (V - E + F)$, อย่างที่คาดไว้.
หากคุณย่อรูปสามเหลี่ยมนี้ลงจนมีขนาดเล็กมากให้พูดว่าพอดีกับแผ่นกระดาษจากนั้นระยะความโค้งของพื้นผิวจะลดลงเหลือศูนย์เป็นหลักและมุมภายนอกทั้งสามมุมทั้งหมด $2\pi/3$ผลรวมก็คือ $2\pi$.