ลดความซับซ้อน $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Aug 17 2020

นี่คือแบบฝึกหัดที่ 6 จากหน้า 44 ของAnalysis Iโดย Amann and Escher

การออกกำลังกาย:

ลดความซับซ้อนของผลรวม

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

สำหรับ $m, n \in \mathbb N$.

คำแนะนำ: สำหรับ $1 \leq j < \ell$ เรามี $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

ความพยายามของฉัน:

ขออภัยฉันไม่เข้าใจวิธีใช้คำใบ้ ฉันไม่เห็นว่ามันสอดคล้องกับนิพจน์ในผลรวมอย่างไร

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

จุดนี้ฉันติดอยู่ ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นทางตันหรือไม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันไม่ได้ใช้คำใบ้ ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

คำตอบ

3 MikeEarnest Aug 17 2020 at 23:46

เริ่มต้นด้วย $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ และใช้คำใบ้กับ $\ell=m+n+k$ และ $j=k$, เราได้รับ $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$นี่คือผลรวมแบบเหลื่อมดังนั้นจึงสามารถประเมินได้ง่าย ได้แก่ การปล่อยให้$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ ผลรวมที่เป็นปัญหาจะเท่ากับ $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ กล้องโทรทรรศน์ที่จะ $a_n-a_{-1}$.