เลมมาเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของช่วงเวลามากมาย

Aug 18 2020

ปัญหานี้เป็นจากเกอร์สไตน์ของรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และพิสูจน์ ส่วน b ของปัญหาคือการพิสูจน์ว่ามีหลายช่วงเวลาไม่สิ้นสุด ฉันกังวลกับส่วน a คำศัพท์ที่จำเป็น ส่วนกระบุไว้:

แสดงว่าถ้า $n \ge 3$ แล้วมีจำนวนเฉพาะ p ที่น่าพอใจ $n \lt p \le n!-1$.

มีคำใบ้:

"พิจารณาตัวหารที่สำคัญ p ของ $(n-1)!-1$. ทำไมพีถึงอยู่”

นี่คือความพยายามของฉันในการแก้ปัญหา:

p มีอยู่เนื่องจากจำนวนเต็มทุกตัวมีตัวหารเฉพาะ สำหรับ k-th prime$p_k$, กำหนด

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ ที่ไหน $p_i$ คือ i-th prime

สัญลักษณ์ p หมายถึงตัวหารเฉพาะของ $(n-1)!-1$. การคาดเดาของฉันเป็นอย่างนั้น$p!!+1$เป็นนายก เราต้องแสดงให้เห็นว่าอยู่ในช่วงที่กำหนดเท่านั้น

เป็นเรื่องที่สมเหตุสมผล (แม้ว่าฉันจะไม่ได้พิสูจน์ก็ตาม) ที่จะสมมติว่า $p!!+1 > n$.

$p!!$คือผลคูณของจำนวนเต็มน้อยกว่า n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ p ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ n ดังนั้น$p!!+1\le n!-1$ และหลักฐานที่อ้างว่าเป็นเช่นนั้นจะสมบูรณ์

มีบุญไหมที่ทะเลาะกันครั้งนี้? ถ้าไม่โจทย์จะแสดงให้เห็นได้อย่างไร?

คำตอบ

2 BrianM.Scott Aug 18 2020 at 09:46

$13!!+1=30031=59\cdot509$ ไม่สำคัญดังนั้นการโต้แย้งจึงไม่สามารถใช้งานได้

อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องจริงอย่างแน่นอน $n!-1$ มีตัวหารเฉพาะ $p$และชัดเจน $p\le n!-1$ดังนั้นเราต้องแสดงให้เห็นเท่านั้น $p>n$. ตั้งแต่$p\mid n!-1$ชัดเจน $p\not\mid n!$; แต่ทุกจำนวนเต็มบวก$\le n$ หาร $n!$ดังนั้น $p$ ไม่สามารถ $\le n$. ดังนั้นเราต้องมี$n<p\le n!-1$.