เมทริกซ์ของลอการิทึมของตัวดำเนินการอนุพันธ์คืออะไร ( $\ln D$)? อะไรคือบทบาทของตัวดำเนินการนี้ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ?
Babusci และ Dattoli บนลอการิทึมของตัวดำเนินการอนุพันธ์ arXiv: 1105.5978ให้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} ฉันสงสัยว่าเมทริกซ์ของมันคืออะไรหรือมีวิธีการนำไปใช้กับฟังก์ชันหรือไม่?
อะไรคือบทบาทที่เข้าใจง่ายในด้านต่างๆของคณิตศาสตร์?
คำตอบ
เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงฟูเรียร์ $x\mapsto k$สิ่งนี้จะกลายเป็นตัวดำเนินการแนวทแยงที่มีองค์ประกอบเมทริกซ์ $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. เพื่อหาองค์ประกอบเมทริกซ์ใน$x$- การเป็นตัวแทนเราจำเป็นต้องสลับการแปลงฟูเรียร์ของลอการิทึม $\ln k$. จากคำตอบ MSEสำหรับการแปลงฟูเรียร์ของ$\ln |k|$ (พร้อมเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์) ฉันจะสรุปได้ว่า $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$
สัญกรณ์นี้หมายความว่า $\ln D$ ทำหน้าที่ในฟังก์ชั่น $f(x)$ สร้างฟังก์ชันใหม่ $g(x)$ ให้โดย $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$
การตีความของไฟล์ $\ln(D)$ ขึ้นอยู่กับการแก้ไขที่เราเลือกตัวดำเนินการอนุพันธ์ตามปกติและอำนาจจำนวนเต็มบวกของตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ - อนุพันธ์เศษส่วน (FID) กล่าวคือการตีความ $D$ยกกำลังด้วยจำนวนจริงใด ๆ (หรือจำนวนเชิงซ้อนผ่านการวิเคราะห์ต่อเนื่อง) ซึ่งจะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ FID จะดำเนินการ ส่วนขยายที่อธิบายด้านล่างนี้จะสร้าง B & Ds สามตัวตนและสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ Pincherle กำหนดไว้ในตระกูล FID ที่ถูกต้องตามกฎหมาย (ดู MO-Q นี้ในอนุพันธ์ 1/2และ MO-Q นี้ในแคลคูลัสเศษส่วน ) สามารถกำหนดได้โดยการกระทำบน 'ชุดพื้นฐาน' ของฟังก์ชันทั้งหมดในตัวแปรเชิงซ้อน$\omega$ เช่น
$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$
ที่ไหน $H(x)$ คือฟังก์ชันขั้นตอน Heaviside และ $\alpha$ และ $\omega$ อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มีการระบุตามปกติในทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไปและการแจกแจงของ
$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$
ด้วย $n=0,1,2,3,...$.
โปรดทราบว่าสิ่งนี้มีส่วนเกี่ยวข้องเพียงเล็กน้อยกับการแปลงฟูเรียร์เหนือเส้นจริงหรือสัญลักษณ์ / สัญลักษณ์ปลอมใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$D^{\alpha}$ ที่นี่ไม่เกี่ยวข้องกับการคูณด้วย $(i 2 \pi f)^{\alpha}$ในพื้นที่ความถี่ ที่อื่นฉันแสดงตัวแทน Convolutional ที่เทียบเท่าต่างๆของ FID นี้เป็น 1) FT เหนือวงกลมผ่านการเปลี่ยนแปลงของ Cauchy complex contour integral เป็นประจำ 2) ความต่อเนื่องในการวิเคราะห์ของตัวแทนอินทิกรัลของฟังก์ชัน Euler beta ไม่ว่าจะผ่านการระเบิดลงใน ระนาบเชิงซ้อนของอินทิกรัลตามส่วนของเส้นตรงจริงหรือการทำให้เป็นมาตรฐานผ่านส่วน จำกัด ของ Hadamard หรือผ่านรูปร่างของโพชแฮมเมอร์ 3) การแก้ไขเมลลินของตัวดำเนินการอนุพันธ์มาตรฐานผ่านการกระทำของฟังก์ชันการสร้าง$e^{tD_x}$การประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการของสูตรต้นแบบของรามานุจันหรือ 4) การแก้ไขฟังก์ชัน sinc / อนุกรมสำคัญของสัมประสิทธิ์ทวินามทั่วไป
มาดูกันว่าคำจำกัดความข้างต้นของ FID นั้นมีความสามารถเพียงใด การเชื่อมต่อกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็ก (infinigen) ของ FID และอัตลักษณ์ B & D สามตัว; การเชื่อมโยงกับความเป็นทางการของลำดับพหุนามของ Appell Sheffer ดังนั้นทฤษฎีพหุนามสมมาตร / ฟังก์ชัน และเมทริกซ์ตัวแทนของ infinigen และ FID
ถ้าเราคิดว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็ก $IG$ มีอยู่เช่นนั้น
$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$
จากนั้นอย่างเป็นทางการ
$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$
$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$
และ infinigen คือ
$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$
ที่ไหน $\psi(x)$ คือฟังก์ชัน digamma ซึ่งสามารถกำหนดบนระนาบเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชัน meromorphic และมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับค่าของฟังก์ชันซีตาของ Riemann ที่ $s = 2,3,4,...$.
พนักงานบางคน (ที่ให้ตัวตนเหมือนกับใน B & D) คือ
$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$
$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$
$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$
$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$
ที่ไหน $\lambda$ เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของออยเลอร์ - มาสเชโรนีผ่าน $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.
ตัวแทนอื่น ๆ และวิธีอื่น ๆ ในการมาถึงตัวแทนข้างต้นมีให้ในการอ้างอิงด้านล่าง
มาดูวิธีการผ่านระเบียบแบบแผนของลำดับพหุนามของ Appell Sheffer ซึ่งจัดการกับปัญหาใด ๆ ของการลู่เข้าเมื่อยกกำลังของสูตร diff op ที่ชัดเจนสำหรับ infinigen และอนุญาตให้เชื่อมต่อกับทฤษฎีพหุนามสมมาตร / ฟังก์ชัน
ลำดับ Appell ที่เกี่ยวข้องของพหุนาม $p_n(z) = (p.(z))^n$ มีฟังก์ชันการสร้างเลขชี้กำลังทั้งในตัวแปรเชิงซ้อน $t$กล่าวคือด้วยซีรีส์ Taylor ที่บรรจบกันทั่วโลก
$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$
ด้วยลำดับพหุนามซึ่งกันและกันซึ่งกำหนดไว้ในสี่วิธีที่สอดคล้องกัน $\hat{p}(z)$
1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, egf,
2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $ในแง่ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สามเหลี่ยมด้านล่างของทั้งสองลำดับในฐานกำลังโมโน $z^n$ ด้วยเส้นทแยงมุมของหน่วย
3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$การผกผันของสะดือ
4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$เครื่องกำเนิดไฟฟ้าปฏิบัติการ
เป็นไปตามที่การเพิ่ม op ของพหุนาม Appell $p_n(z)$ ที่กำหนดโดย
$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$
ให้โดย
$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$
$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$
การผันตัวดำเนินการหรือ 'การแปลงมาตรวัด' ของตัวดำเนินการเพิ่ม $z$ สำหรับโมโนเมียลกำลัง
นอกจากนี้ด้วยตัวดำเนินการสับเปลี่ยน $[A,B] = AB - BA$,
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$
ตอนนี้ป้อน Pincherle และอนุพันธ์ของตัวดำเนินการบาร์โค้ดอีกครั้งซึ่ง Rota ได้รับการขนานนามสำหรับแคลคูลัสตัวดำเนินการ จำกัด หลุมฝังศพ-Pincherle อนุพันธ์บุคลากรพลังงานจากหลุมฝังศพ-โกหก-Heisenberg-ไวล์สับเปลี่ยน$[D_z,z] = 1$ ซึ่งจากการสั่งซื้อใหม่ตามปกติหมายถึงฟังก์ชันใด ๆ ที่แสดงเป็นอนุกรมกำลังใน $D_z$
$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$
นี่คืออวาตาร์ของอนุพันธ์ Pincherle (PD) ที่ตามมาจากการกระทำ $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$
แต่ PD นั้นถูกต้องสำหรับการลดและเพิ่ม (บันได) ทั่วไปที่ตอบสนอง $[L,R]= 1$.
แล้ว
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$
$$ = z - \psi(1+D_z).$$
ด้วยการเปลี่ยนตัว $ z = \ln(x)$
$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$
วิธีการเลี้ยงถูกกำหนดไว้เช่นนั้น
$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$
ฟังก์ชันทั้งหมดสำหรับ $t$ซับซ้อน; ดังนั้น,
$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$
ดังนั้น
$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$
$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$
และเราสามารถระบุได้ว่าแท้จริงแล้ว
$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$
และ
$$IG = \ln(D_x).$$
ตอนนี้ใช้ PD กับ $\ln(D)$เป็นการตรวจสอบความเป็นทางการและหนทางสู่ตัวแทนเมทริกซ์ให้อย่างเป็นทางการ
$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$
สิ่งนี้ได้รับความหมายที่ชัดเจนโดยการประเมินคอมมิวเตเตอร์สำหรับฟังก์ชันทั่วไป $g(x)$ วิเคราะห์ที่จุดเริ่มต้น (ซึ่งรวมถึงชุด 'พื้นฐาน' ของเรา) โดยใช้ตัวแทนที่สำคัญสำหรับ $R_x = -\ln(D_x)$, การให้
$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$
$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$
$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$
ดังนั้นเรามี
$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$
และ
$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$
บ่งบอก
$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$
นอกจากนี้ด้วย
$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$
แล้ว
$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$
$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$
ที่ไหน
$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$
op series ความแตกต่าง จำกัด ฝังอยู่ในอนุพันธ์ $D_{\alpha =0}$ของตัวแก้ไขนิวตัน
$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$
$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$
สำหรับ $\alpha = -m$ ด้วย $m = 1,2,...$ และ $\omega = 0$ตัวเชื่อมต่อของนิวตันนี้ให้
$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$
$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$
$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$
ซึ่งเห็นด้วยในแง่การกระจายกับมติพหุนาม Laguerre ของ $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$ในสูตรของMO-Q นี้ตั้งแต่ด้วย$c_n = f_n$ ในสัญกรณ์ที่นั่น
$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$
ด้วย
$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$
ดังนั้นสำหรับ $m$อนุพันธ์ของฟังก์ชัน Heaviside
$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$
ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของความละเอียดชุด Laguerre ของ $m$อนุพันธ์ -th ของฟังก์ชัน Heaviside คือ
$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$
ตามข้อตกลงกับเครื่องเชื่อมต่อระหว่างนิวตัน
การสมัคร $D_x^{-1}$ ซ้ำ ๆ ทั้งสองด้านของข้อมูลประจำตัวนี้จะสร้างการแก้ไขแบบบรรจบกันสำหรับ $\omega = 1,2,3,...$และทำหน้าที่บนพื้นฐานกำลังภายในการขยายทวินามของ $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ ควรให้นิพจน์คอนเวอร์เจนเช่นกัน
ในทำนองเดียวกันสำหรับ $\omega=0$เรามีการแปลง Laplace (หรือแม่นยำกว่านั้น Mellin ที่แก้ไขแล้วจะแปลงศูนย์กลางเป็นสูตรต้นแบบของ Ramanujan ซึ่ง FIDs อาจถูกโยนเป็นการแก้ไข Mellin ของอนุพันธ์มาตรฐาน)
$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$
สำหรับ $Re(\alpha) > -1$, การให้
$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$
การแปลงลาปลาซนี้และด้วยเหตุนี้อินเทอร์โพเลเตอร์ของนิวตันจึงสามารถวิเคราะห์ต่อได้ในหลายวิธีมาตรฐาน (เช่นการระเบิดจากเส้นจริงไปยังระนาบเชิงซ้อนผ่านเส้นโครงร่างแฮงเคิลฮาดามาร์ด จำกัด ) ไปยังระนาบเชิงซ้อนเต็มรูปแบบสำหรับ$\alpha$. สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ Hankel contour จะทำสัญญากับ Cauchy contour rep ตามปกติสำหรับการสร้างความแตกต่าง วิธีการแบบ Hadamard-finite-part ช่วยให้ Newton interpolator สามารถปรับเปลี่ยนสตริปทีละสตริปอย่างเหมาะสมเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
กลับไปที่ตัวแทนผลต่าง จำกัด สำหรับ $\ln(D_x)$, การกระทำของ infinigen ในวันที่ 1 จากนั้นให้สำหรับ $x > 0$,
$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$
ที่ไหน $L_n(x)$ เป็นพหุนาม Laguerre ตามสมการแรกของ B & D ในคำถาม
พล็อตผลการประเมินซีรีส์ตัวดำเนินการถูกตัดทอนที่ $n=80$หรือมากกว่านั้นทำหน้าที่ใน $x^2$ และ $x^3$ ตรงกับผลการวิเคราะห์ด้วย
ตัวแทนเมทริกซ์ $M$ ของการดำเนินการของการทำงานร่วมกันนี้ $D_x^{-1}$ บน $x^n$ ง่ายพอในพื้นฐานกำลัง - เมทริกซ์ที่มีเลขศูนย์ทั้งหมดยกเว้นเส้นทแยงมุมย่อยแรกหรือซูเปอร์ทแยงมุมขึ้นอยู่กับการคูณเมทริกซ์ทางซ้ายหรือทางขวาพร้อมองค์ประกอบ $(1,1/2,1/3,...)$.
ตัวแทนเมทริกซ์สำหรับ $R_x$ เป็นแล้ว
$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$
การยกกำลัง
$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$
ตัวแทนเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องคือ
$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$
(ฉันไม่ได้ตรวจสอบการคำนวณเมทริกซ์เหล่านี้ในเชิงตัวเลขตามปกติเนื่องจากดิสก์ MathCad ของฉันอยู่ในที่จัดเก็บในสถานะอื่น)
เพื่อดำเนินการกับอำนาจที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ $x$คุณต้องแทนค่าเหล่านี้เป็น superpositions ของฐานกำลังจำนวนเต็มเช่นเดียวกับการขยายทวินาม
$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$
หรือกลับไปที่ไฟล์ $z$ ตัวแทนและเขียนตัวแทนเมทริกซ์ของการเพิ่มขึ้น $R_z$. นี่คือการเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย ๆ ของเมทริกซ์ปาสคาลสามเหลี่ยมล่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดเสริมด้วยซุปเปอร์ทแยงมุมแรกของทั้งหมด OEIS A039683 มีตัวอย่างของเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับการเพิ่มประสิทธิภาพในฐานกำลังเชิงเดี่ยวหรือที่เรียกว่าเมทริกซ์การผลิตในแนวทางอื่น (Riordan?) กับลำดับพหุนาม ดีกว่าในกรณีนี้ที่จะเปลี่ยนไปใช้พื้นฐานกำลังแบบแบ่ง$z^n/n!$. จากนั้นเมทริกซ์ปาสคาลเสริมจะกลายเป็นเมทริกซ์ผลรวมอย่างง่ายของทุกคน คูณตามเส้นทแยงมุมที่ n ด้วย$c_n$ ที่ไหน $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ เพื่อสร้างตัวแทนเมทริกซ์สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ แต่เนื่องจากเช่น $x^2=e^{2z}$สิ่งนี้กลายเป็นอัลกอริธึมที่ยุ่งเหยิงอย่างรวดเร็วเมื่อเทียบกับตัวแทนผลต่าง จำกัด
ข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติม (ไม่ครบถ้วนสมบูรณ์):
- รีมันน์ซีตาและแคลคูลัสเศษส่วน MO-Q
- ฟังก์ชัน Digamma / Psi, Wiki
- OEIS A238363 บนบันทึกของตัวดำเนินการอนุพันธ์
- OEIS A036039 ในพหุนามดัชนีวัฏจักรและฟังก์ชันสมมาตร
- ฟังก์ชันซีตาและพหุนามดัชนีวัฏจักร MO-Q
- เกี่ยวกับการระดมทุนสำหรับ FIDs MSE-Q
- OEIS A132440 บนเมทริกซ์อินฟินิเกน
- OEIS A263634 บนพาร์ติชันพหุนามตัวแทนสำหรับ Appell เพิ่ม ops
- อ้างถึงการตีความอื่นของบันทึกอนุพันธ์เป็น pdf
- การแก้ไข / วิเคราะห์ความต่อเนื่องของแฟกทอเรียลไปยัง gamma fct, MSE-Q
- การเพิ่มการดำเนินการสำหรับลำดับ Appell โพสต์บล็อก
- ตัวอย่างการแก้ไข Mellin ของ $e^{tD}$, MO-Q
- เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้ไข / วิเคราะห์ความต่อเนื่องของการดำเนินการที่แตกต่างกันโพสต์ในบล็อก
- ความต่อเนื่องในการวิเคราะห์สองค่าของสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันการสร้าง MO-Q
- FIDs และฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่มาบรรจบกัน MO-Q
- หมายเหตุเกี่ยวกับอนุพันธ์ของ Pincherle โพสต์ในบล็อก
- FIDs และการแก้ไขค่าสัมประสิทธิ์ทวินามโพสต์ในบล็อก
- FIDs การแก้ไขและคลื่นการเดินทางบล็อกโพสต์