เมตริกซ์สหสัมพันธ์ของสินทรัพย์หรือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบใดที่มีเงื่อนไขไม่เหมาะสม

Question

หากฉันมีเมทริกซ์ของผลตอบแทนสินทรัพย์หลายตัวแปรสำหรับ $N$หุ้นและฉันคำนวณจากเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและเมทริกซ์สหสัมพันธ์ฉันจะรู้ได้เสมอว่าทั้งสองตัวใดจะมีหมายเลขเงื่อนไขที่สูงกว่า (สูงกว่าถึงอินฟินิตี้หมายถึงสภาพไม่ดีมากกว่าเมื่อเทียบกับใกล้ 1 สำหรับเงื่อนไขที่ดี) เหรอ? หรือหมายเลขเงื่อนไขของเมทริกซ์ (ประเภท) สองแบบที่แตกต่างกันนั้นหาที่เปรียบมิได้โดยสิ้นเชิง?

หากมีเงื่อนไขที่ดีกว่าอีกอันหนึ่งเสมอมีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้หรือไม่? ยินดีต้อนรับเกณฑ์อื่น ๆ นอกเหนือจากหมายเลขเงื่อนไข

Answer 1

ได้คุณสามารถเปรียบเทียบหมายเลขเงื่อนไขเมทริกซ์ได้หากประเมินพวกเขาสำหรับปัญหาเดียวกันตัวอย่างเช่นการผกผันของเมทริกซ์ สำหรับ L2:

สำหรับการกำหนดลักษณะทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมของการปรับสภาพและผลกระทบให้ดูครึ่งแรกของเอกสารประกอบการบรรยายเหล่านี้จากชั้นเรียนที่ฉันเรียน: https://github.com/mandli/intro-numerical-methods/blob/master/12_LA_conditioning_stability.ipynb

Answer 2

หลังจากที่ได้ลองสิ่งนี้กับเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มแล้วฉันก็เห็นเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของตัวเลขที่สร้างแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอไม่ว่าการแจกแจงเหล่านี้จะสุ่มตัวอย่างมาจากไหนก็ตามมักจะมีเงื่อนไขที่ดีกว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเสมอ ซึ่งเป็นเรื่องแปลกเพราะเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมอยู่ก่อนเมทริกซ์สหสัมพันธ์: เมทริกซ์สหสัมพันธ์ต้องคำนวณจากเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและวิธีอื่น ๆ ไม่สามารถทำได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมซึ่งมีสภาพไม่ดีมากขึ้นในความเป็นจริงจะถูกเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ที่มีสภาพดีมีเสถียรภาพมากขึ้นเมื่อถูกแปลงเป็นเมทริกซ์สหสัมพันธ์

ซึ่งทำให้ฉันสงสัยว่าแบบจำลองทางการเงินทั้งหมดที่อาศัยเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะดีกว่าหรือไม่หากใช้เมทริกซ์สหสัมพันธ์เป็นข้อมูลเข้าแทนเนื่องจากความเป็นปฏิปักษ์ทั้งหมดที่มีต่อความไม่เสถียรและการปรับสภาพที่ไม่เหมาะสมของความแปรปรวนร่วม ฉันรู้ว่าความแปรปรวนร่วมมีความแปรปรวนหรือความเสี่ยงดังนั้นแบบจำลองที่เอียงเพื่อตีความความสัมพันธ์อย่างเคร่งครัดแทนที่จะส่งผลให้พลาดการวัดที่เกี่ยวข้องมากกว่าซึ่งเป็นความเสี่ยงไม่ใช่ความสัมพันธ์ดังนั้นดูเหมือนว่าเราจะให้ความสามารถในการตีความก่อนเมื่อเทียบกับอื่น ๆ - ตัวเลือกที่เกี่ยวข้องซึ่งมาพร้อมกับความไม่แน่นอนของตัวเลขและข้อผิดพลาดในการประมาณค่า