มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เฉพาะหรือสาขาคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยชน์ในการศึกษาหรือสร้างการพิสูจน์ความไม่สมเหตุสมผลหรือไม่?
ดูเหมือนว่าโดยทั่วไปแล้วความไร้เหตุผลหรือการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมของค่าคงที่ "ยาก" บางอย่างเช่น $e,\pi$ หรือ $e^\pi$อาศัยการแสดงว่ามีจำนวนเต็มอยู่ใน $(0,1)$. แต่ดูเหมือนว่าจะไม่มีวิธีที่สอดคล้องกันในการเข้าถึงความขัดแย้งนี้
การพิสูจน์ความไร้เหตุผลที่สอดคล้องกัน (อาจมีเพียงข้อเดียว) คือการใช้ "Beukers Integrals" ซึ่งสามารถใช้เพื่อแสดงว่าตัวเลขต่อไปนี้ไม่ลงตัว: $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $. โดยทั่วไปคุณต้องสร้างอินทิกรัล$I_n$, ดังนั้น, $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$, ที่ไหน $a_n,b_n,d_n$ คือจำนวนเต็มและ $d_nI_n \to 0$ เช่น $n$ขยายใหญ่ขึ้นจึงแสดงจำนวนเต็มระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าวิธีนี้ได้รับการรีดนมจนตายและถึงขีด จำกัด แล้ว
หลักฐานของ Aperyสำหรับ$\zeta(3)$ใช้ซีรีส์คอนเวอร์เจนท์ที่รวดเร็วสำหรับมัน แต่ดูเหมือนว่าหลักฐานนี้จะ "แยก" ในแง่ที่ว่าไม่สามารถจำลองเป็นค่าคงที่อื่นได้ ดูเหมือนการพิสูจน์ความไร้เหตุผลทั้งหมดจะ "แยก" ในแง่นี้ พวกเขาทั้งหมดไม่มีความคล้ายคลึงกันยกเว้นวิธีการของ Beukers ที่กล่าวถึง
มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เฉพาะหรือสาขาคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยชน์ในการศึกษาหรือสร้างการพิสูจน์ความไม่สมเหตุสมผลหรือไม่?
ตัวอย่างเช่นบทความนี้มีผลลัพธ์ทั่วไปและโดยเฉพาะบางประการในทฤษฎีจำนวนยอดเยี่ยมพร้อมข้อพิสูจน์บางประการ
คำตอบ
แน่นอนว่าหลายพื้นที่มีแนวโน้มที่จะหาข้อพิสูจน์สำหรับการพูดการคาดเดานั้น $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$ล้วนไร้เหตุผล โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการทางทฤษฎีจำนวนร่วมกับ combinatorics (วิธีการไม่แสดงอาการ) อาจมีประโยชน์ สิ่งนี้ได้รับการสนับสนุนโดยการพิสูจน์ของZudilinซึ่งแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ด้วยวิธีการเหล่านี้:
โจทย์:หนึ่งในตัวเลข$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ ไม่มีเหตุผล
นอกจากนี้เขายังมีหลักฐานเบื้องต้นมากสำหรับผลที่อ่อนแอกว่าที่นี่