มีเลขสี่หลักกี่ตัวที่ไม่มีศูนย์และการคูณของตัวเลขนั้นหารด้วย 7 ได้?
ฉันเห็นคำถามในหนังสือคณิตศาสตร์ของฉันดูเหมือนเป็นเรื่องเล็กน้อยมากมันบอกว่า:
มีเลขสี่หลักกี่ตัวที่ไม่มีศูนย์และการคูณของตัวเลขนั้นหารด้วย 7 ได้?
ฉันนึกถึง:
(ตัวเลขทั้งสี่หลักไม่ประกอบด้วยศูนย์) ลบ (ตัวเลขสี่หลักทั้งหมดที่ไม่มี 7 และ 0)
เพื่อหาตัวเลขทั้งสี่หลักที่ไม่มีศูนย์และการคูณของตัวเลขสี่หลักหารด้วย 7 ได้
แล้ว $(9^4)-(8^4)=2465$. อย่างไรก็ตามคำตอบคือ$4904$. ฉันขาดอะไรไป?
คำตอบ
คำตอบแรกของคุณถูกต้องตามคำแถลงที่คุณให้ไว้:
ปล่อย $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. ดังนั้น$A = 1000a+100b+10c+d $ เป็นตัวเลขสี่หลัก
Morevover, $a\cdot b \cdot c \cdot d $ หารด้วย $7$ถ้าและเฉพาะในกรณีที่การแยกตัวประกอบเฉพาะของมันมีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง $7$ ดังนั้นถ้าและเฉพาะในกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งใน $A$เลขโดดเท่ากับ $7$. ดังนั้นคำตอบคือ$9^4-8^4 = 2465$ อย่างที่คุณพูด.
อย่างไรก็ตามหากคุณกำลังมองหาจำนวนตัวเลขสี่หลักซึ่งผลคูณของตัวเลขนั้นหารด้วยได้$7$ คำตอบคือ $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. คุณสามารถตรวจสอบว่า: ตามลำดับสำหรับตัวเลขสี่หลัก$A$ เพื่อให้ผลคูณของตัวเลขหารด้วย $7$จะต้องมี $0$ หรือ $7$.
ปล่อย $A = 1000a+100b+10c+d$ ที่ไหน $0\leq a,b,c,d \leq 9$ คือจำนวนเต็มและ $a \neq0$.
ถ้า $a=7$ จากนั้นคุณสามารถมีชุดค่าผสมทั้งหมดที่เป็นไปได้ $b,c$ และ $d$. ดังนั้นจึงให้คุณ$10^3$ ทางเลือก
ถ้า $a \neq 7$จากนั้นคุณกำลังมองหาหมายเลข $n$ ของความเป็นไปได้ที่จะมีอย่างน้อย $b,c$ หรือ $d$ เท่ากับ $0$ หรือ $7$. Morevover คุณมีแน่นอน$8^3$ ความเป็นไปได้สำหรับ $b$, $c$ และ $d$ ไม่ต้องเท่ากับ $0$ หรือ $7$. ดังนั้น$n = 10^3-8^3$. ในที่สุดก็มีเพียง$8$ ความเป็นไปได้สำหรับ $a$ จะแตกต่างจาก $7$.
ดังนั้นหมายเลขที่คุณกำลังมองหาคือ $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.