มีวิธีที่ดีในการเขียนการดำเนินการ CNOT ทางคณิตศาสตร์บนควิตที่ไม่อยู่ใกล้เคียงในวงจรหรือไม่? [ซ้ำ]
ฉันสงสัยว่ามีวิธีใดบ้างในการนำเสนอเมทริกซ์ CNOT เนื่องจากเรามักจะนำเสนอการดำเนินการ qubit เดี่ยว
$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$
ฉันรู้ว่าสำหรับ qubits ที่อยู่ติดกันในวงจรเราสามารถนำเสนอได้เหมือนกัน
$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$
แต่มีวิธีในการนำเสนอการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หรือไม่หากมี CNOT หลายตัวที่ทำหน้าที่ไม่ใช่สายไฟใกล้เคียง?
คำตอบ
หากคุณอ้างถึงเฉพาะการแสดงวงจรนามธรรมคุณก็สามารถจัดลำดับพื้นฐานของคุณใหม่เพื่อให้ qubits ทั้งหมดที่เข้าร่วม CNOT นั้นเป็น "ที่อยู่ติดกัน" ตามการติดฉลากของคุณ ตัวอย่างเช่นหากมีการสั่งซื้อพื้นฐานเช่น$1,2,3$และคุณต้องการแสดง CNOT ระหว่างควิต 1 และ 3 จากนั้นคุณก็เขียนสิ่งที่ชอบ
$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$
ซึ่งตอนนี้มีการสั่งซื้อพื้นฐาน $1,3,2$. แต่ถ้าคุณไม่ต้องการเรียงลำดับพื้นฐานใหม่ก็มีอีกวิธีหนึ่งในการเขียน CNOT:
$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$
ซึ่งอาจรวมถึงตัวตนในสถานะของ qubit ที่สองเช่น
$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$
นี่ไม่ใช่แค่ผลพลอยได้อีกต่อไปซึ่งคาดว่าเนื่องจากการกระทำของ CNOT ไม่ควรแยกตัวประกอบเป็นผลการดำเนินงาน
ส่วนตัวฉันแค่กำหนดสัญกรณ์บางอย่างให้ตัวเอง ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเป็น NOT ที่คุณเขียนลงไปฉันจะกำหนด$X_n$ เป็น $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ ในทำนองเดียวกันฉันอาจกำหนด $CNOT^i_j$ เป็นตัวควบคุม - ไม่ควบคุม $i$ และการกำหนดเป้าหมาย $j$. ถ้าฉันต้องเขียนมันออกมาเป็นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ฉันอาจจะทำอะไรแบบนี้$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ สมมติ $j>i$.