มูลค่าที่คาดหวังของเกมเมื่อพลิกเหรียญ
คุณเริ่มต้นด้วย \ $ $ $ 10,000 คุณพลิกเหรียญยุติธรรม
- หากคุณได้รับเงินคุณจะได้รับเงิน \ $ $1$.
- ถ้าคุณถูกก้อยคุณจ่ายเงินให้เพื่อนครึ่งหนึ่งของเงินปัจจุบันของคุณ
จำนวนเงินที่คุณคาดหวังหลังจากนั้นคือเท่าไร $n$ รอบ?.
ลองกำหนดจำนวนเงินเริ่มต้นเป็น $x_{0} = 10000$. จากนั้นในรอบ 1 เราคาดหวัง$$ x_{1} = {1 \over 2}\left({x \over 2} + x + 1\right) $$ หมายเหตุในรอบ $1$เราจะมี $2$ ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $x_{1}$. $5000$ และ $10,001$. ดังนั้นในรอบ$2$เราจะมี $4$ค่าที่เป็นไปได้ อย่างชัดเจนในรอบ$n$, เรามี $2^{n}$ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน
ตอนนี้นี่เป็นส่วนหนึ่งที่ฉันคิดว่าฉันทำถูกต้อง แต่ไม่รู้จะแก้ตัวอย่างไร เพื่อลดความซับซ้อนของสิ่งต่าง ๆ ฉันอ้างว่าแทนที่จะมี$2^{n}$ ค่าที่เป็นไปได้ในรอบ $n$เรามีค่าเดียวซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ $2^{n}$ค่า ตัวอย่างเช่นฉันสามารถยุบไฟล์$2$ ค่าสำหรับรอบ $1$ เป็น $\left(10001 + 5000\right)/2 = 7500.5$. จากนั้นเมื่อทำเช่นนั้นจะเห็นได้ชัดว่าการเรียกซ้ำของเราคือ
$$ x_{n} = {1 \over 2}\left({x_{n - 1} \over 2} + x_{n - 1} + 1\right) $$
- คำถามแรกของฉันคือฉันจะปรับ "การยุบ" ได้อย่างไร หากคุณเขียนคำศัพท์ไม่กี่คำคุณจะเห็นว่า$$ x_{n} = 0.75^{n}\, x_{0} + \sum_{i = 0}^{n - 1}0.75^{i} \times 0.5 $$
- คำถามที่สองของฉันคือฉันทำที่นี่แล้วหรือฉันต้องการพิสูจน์ว่าตัวย่อ $x_{n}$ ขึ้นอยู่กับ $x_{0}$ถือโดยการเหนี่ยวนำ?. ฉันพบสูตรนี้โดยการเขียนออกมาสองสามรายการและดึงดูดสายตา / กระตุ้นสิ่งต่างๆเพราะมีรูปแบบที่ชัดเจนมากดังนั้นฉันจึงรู้สึกว่านั่นเป็นหลักฐานเพียงพอหรือไม่?
คำตอบ
ความคิดของคุณถูกต้อง คุณสามารถอุทธรณ์กฎหอคอยได้เนื่องจากการแจกแจงตามเงื่อนไขของไฟล์$X_n$ ให้ $X_{n-1}$ มอบให้กับคุณ $$E[X_n] = E[E[X_n \mid X_{n-1}]] = E[0.5(X_{n-1}/2 + X_{n-1} + 1)] = \frac{3}{4} E[X_{n-1}] + \frac{1}{2}.$$