เงื่อนไข Iff สำหรับ $C^1$-diffeomorphism ที่จะมี $L^1$ หรือ $L^\infty$ จาโคเบียน

Question

ปล่อย $\Delta,D$ เป็นสองชุดย่อยที่เปิดอยู่ของ $\mathbb{R}^d$และปล่อยให้ $\varphi:\Delta \rightarrow D$ เป็น $C^1$-diffeomorphism กับ Jacobian ดีเทอร์มิแนนต์ $J_{\varphi}.$

1. พิสูจน์ว่า $\lambda_d(D)<+\infty$ ถ้าและต่อเมื่อ $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

2. พิสูจน์ว่า $J_\varphi$ มีขอบเขต $\Delta$ ถ้าและต่อเมื่อ $\exists c>0$ เช่นนั้นสำหรับทุกคนที่เปิดกว้าง $\Omega \subset\Delta$, $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

สำหรับส่วนที่ 1 ผลลัพธ์ตามมาจาก $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

สำหรับส่วนที่ 2 ถ้า $J_\varphi$ มีขอบเขต $\exists c>0$ เช่นนั้นสำหรับทุกคนที่เปิดกว้าง $\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

เราจะพิสูจน์ Converse ได้อย่างไร?

Answer 1

เรียกคืนสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ $f$ กำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด $x\in\mathbb R^d$, $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

สมมติว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง $|J_\varphi|$ไม่ถูกผูกมัด จากนั้นสำหรับแต่ละ$n\in\mathbb Z_{>0}$, มีอยู่ $x_n\in \Delta$ ดังนั้น $|J_\varphi(x_n)|>2n$. ดังนั้นสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ$r_n>0$, $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ ซึ่งจะพูด $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ จึงไม่เช่นนั้น $c>0$ สามารถมีอยู่ได้