เงื่อนไขเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมวนรอบ

Aug 18 2020

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน $z,z^2,z^3,z^4$ตามลำดับซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมวนรอบ ถ้า$\arg z=\alpha$ และ $\alpha$ อยู่ใน $[0,2\pi]$ค้นหาค่า $\alpha$ สามารถใช้.

ฉันพบคำถามนี้ในการสอบแข่งขันครั้งหนึ่งฉันพยายามใช้คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบวนรอบเพื่อรับ $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้น แต่ไม่ได้ช่วยอะไร

ฉันยังลองใช้ทฤษฎีบท coni แต่ไม่มีประโยชน์ คำตอบที่ได้รับคืออัลฟ่าอยู่ใน$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$

คำตอบ

2 OscarLanzi Aug 18 2020 at 20:22

นี่คืออีกทางเลือกหนึ่งในการแสดงผล $|z|=1$ - โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ของทุกสิ่ง

สมมติว่า $z,z^2,z^3,z^4$ นอนบนวงกลมเพื่อไม่เป็นศูนย์ $z$. จากนั้นคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วย$z$ เราสรุปได้ว่า $z^2,z^3,z^4,z^5$ นอนบนวงกลมซึ่งจะต้องเหมือนกับวงกลมแรกเนื่องจากจุดสามจุดที่ทับซ้อนกัน $z^2,z^3,z^4$. ในทำนองเดียวกัน$z^6,z^7,...$ นอนอยู่บนวงกลมเดียวกัน

ตอนนี้ไปทางอื่น ให้$z,z^2,z^3,z^4$ บนวงกลมหารด้วย $z$แล้ว $1,z,z^2,z^3$นอนบนวงกลมซึ่งเหมือนกับวงกลมเริ่มต้นอีกครั้ง เราพบกระบวนการนี้ซ้ำ$z^{-1},z^{-2},...$ นอนบนวงกลมนี้ด้วย

ดังนั้นวงกลมเดียวกันจึงมีจุดทั้งหมดในแบบฟอร์ม $z^n$ สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด $n$บวกลบและศูนย์ แต่วงกลมนั้นจะต้องถูกล้อมรอบและชุดของพลังที่เพิ่งระบุนั้นถูก จำกัด ไว้สำหรับ$|z|=1$.

ให้ $|z|=1$วิธีการ จำกัด การโต้แย้งเป็นเรื่องของคำจำกัดความ หากเราต้องการคะแนน$z,z^2,z^3,z^4$ เพื่อให้อยู่ในลำดับการหมุนในรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างเราต้องมีหนึ่งในสองกรณี:

  • หากลำดับทวนเข็มนาฬิกาแสดงว่า $0<\alpha<2\pi/3$ เพราะเพื่อรักษาลำดับการหมุนที่เราต้องมี $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.

  • หากลำดับเป็นตามเข็มนาฬิกาแสดงว่ากำลังผกผัน $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ อยู่ในลำดับทวนเข็มนาฬิกาและตอนนี้เราต้องการ $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. สิ่งนี้ให้ชุดที่สอง$4\pi/3<\alpha<2\pi$ หากอาร์กิวเมนต์ถูกนำไปอยู่ใน $[0,2\pi)$.

แต่เนื้อหายังคงอยู่บนวงกลมแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในลำดับการหมุนนี้ก็ตามดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบวงกลมจึงมีอยู่เว้นแต่จะถูกลดทอนโดยจุดยอดคู่ที่ตรงกัน ความบังเอิญดังกล่าวเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ$n\alpha$ เป็นหลาย ๆ $2\pi$ สำหรับ $n\in\{1,2,3\}$. ดังนั้นจากมุมมองนี้$\alpha$ สามารถเป็นอะไรก็ได้ใน $[0,2\pi]$ ยกเว้น $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.

2 MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 11:53

โดยปโตเลมีเราได้รับ: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ หรือ $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ ตอนนี้เราใช้อสมการสามเหลี่ยมได้

Id est สำหรับ $|z|=r$ เราได้รับ: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ ซึ่งจะช่วยให้ $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ หรือ $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ และตั้งแต่นั้นมา $\sin\alpha\neq0$เราได้รับ $r=1$.

1 RezhaAdrianTanuharja Aug 18 2020 at 12:33

เช่นเดียวกับในการแก้ปัญหาของ Michael ใช้ Ptolemy เพื่อรับ $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.

ดูจากภาพจะเห็นได้ชัดว่า $|z^{2}|=1$ และตามมา $|z|=1$. สำหรับ$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$สมการนั้นถูกต้อง คำแนะนำ: ที่มุมใด$\alpha$ ทิศทางของ $z^{2}+z+1$ กลายเป็นตรงกันข้ามกับ $z$เหรอ?

1 JeanMarie Aug 19 2020 at 05:23

สำหรับปัญหาโมดูลัสให้เราใช้การเทียบเท่าคลาสสิก (ดูที่นี่ ):

$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$

ในกรณีของเรา (1) กลายเป็น:

$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$

คำนึงถึงความเรียบง่ายที่แตกต่างกันโดยเฉพาะ $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) เทียบเท่ากับ:

$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$

กล่าวเป็นอย่างอื่นด้วย $z=re^{i\theta}$,

$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$

เช่น $\theta \ne k \pi$ (ค่าดังกล่าวจะให้รูปสี่เหลี่ยมที่เสื่อม) เราจำเป็นต้องมี $r-\tfrac1r=0$, การให้ $r=1$.

สำหรับปัญหามุมให้เราสมมติว่า$z=re^{i \theta}$ ด้วย $0<\theta<\pi$ โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป (นี่ขึ้นอยู่กับความสมมาตรเมื่อเทียบกับ $x$-แกน). เทียบเท่ากับการให้เหตุผล$1,z,z^2,z^3$ ซึ่งเป็นคะแนนที่ได้รับจาก $z,z^2,z^3,z^4$ โดยก $-\theta$การหมุน เป็นที่ชัดเจนทางเรขาคณิตว่าเงื่อนไขที่จำเป็นก็คือ$z^3$ มีอาร์กิวเมนต์น้อยกว่า $2 \pi$ (มิฉะนั้นลำดับของคะแนน $1$ และ $z^3$จะไม่ได้รับความเคารพ) เงื่อนไขนี้$arg(z^3)<2 \pi$ ให้

$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$

ยิ่งไปกว่านั้นเงื่อนไขนี้ก็เพียงพอแล้ว: ทั้งหมด $\alpha$การตรวจสอบ (3) ให้แนวทางแก้ไขที่เหมาะสม