ในบริบทของ DFT ตัวอย่างความถี่ Nyquist อยู่ที่ไหนในสเปกตรัมความถี่สองด้าน (ด้านบวก / ด้านลบ)

Question

หากเรามีจุดข้อมูลจำนวนเท่ากัน $N$หลังจาก DFT ใน MATLAB ผลลัพธ์จะมีลำดับดังนี้

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

สำหรับสัญญาณจริงเอาต์พุตแรกที่สอดคล้องกับ $k$= 0 เป็นจริงและความถี่ Nyquist ก็เช่นกัน หลังจากนั้นตัวเลขจะเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน

หากเราสนใจสเปกตรัมด้านเดียวความถี่ของ Nyquist จะแสดงในด้านบวก

อย่างไรก็ตามเมื่อมีการพล็อตสเปกตรัมความถี่สองด้านผู้เขียนหลายคนใส่ความถี่ Nyquist ไว้ในด้านลบ

ซอฟต์แวร์บางตัวเช่น OriginPro ทำตามสิ่งที่ตรงกันข้าม มีวิธีที่ถูกต้องโดยพื้นฐานหรือเป็นเพียงแบบแผนกล่าวคือ

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

อีกทางหนึ่ง $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

ที่ไหน $k$ คือเวกเตอร์ดัชนี DFT ซึ่งใช้สร้างแกนความถี่เป็น

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

ที่ไหน $\Delta t$ คือช่วงการสุ่มตัวอย่าง

หลายคนบอกว่ามันเป็นเพียงแบบแผนและถูกต้องทั้งคู่ ขอบคุณ.

Answer 1

มันเป็นอนุสัญญาพวกเขาเทียบเท่า:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB และ Numpy ไป $[-N/2, ..., N/2-1]$ซึ่งเป็นเรื่องโชคร้ายสำหรับการเป็นตัวแทนการวิเคราะห์ (+ freqs เท่านั้น) โปรดทราบว่าค่าของมันจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเมื่อเทียบกับถังขยะอื่น ๆ (แต่ไม่ใช่ด้วยตนเองพวกมันมีความสัมพันธ์แบบนี้) ดังนั้นในแง่หนึ่งมันเป็นทั้งความถี่เชิงลบและเชิงบวกดังนั้นพลังงานจึงคงไว้:

คุณสามารถบอกความชอบของไลบรารีได้โดยใช้fftshift เอกสาร :

Answer 2

สมมติ $x[n]$ เป็นของจริงส่งผลให้ $X[k]$เป็น"Hermitian สมมาตร" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

และถ้า $N$ เท่ากับค่าในถัง DFT $X[\tfrac{N}{2}]$(ซึ่งเป็นปริมาณจริงที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์) ควรแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ควรวางครึ่งหนึ่งไว้ที่$k=-\tfrac{N}{2}$ และอีกครึ่งหนึ่งวางไว้ที่ $k=+\tfrac{N}{2}$.

คำตอบก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้