$P\cdot (Q \times P)$ ที่ไหน $P$ และ $Q$ เป็นเวกเตอร์

Question

คำตอบคือศูนย์ แต่ทำไม?

ทฤษฎีของฉันคือ $P.Q$ เป็นผลคูณสเกลาร์คุณไม่สามารถข้ามผลคูณระหว่างเวกเตอร์ที่เหลือกับสเกลาร์ได้

แต่เขียนด้วยคำตอบว่าผลคูณไขว้ของเวกเตอร์จะขนานกับสี่เหลี่ยมด้านขนานของเวกเตอร์จึงขนานกับ $P$. และผลิตภัณฑ์ดอท$P$ ด้วยเวกเตอร์ Parallel อื่นจะเป็นศูนย์

วิธีใดเป็นวิธีการที่ถูกต้อง?

(คำถามไม่ได้ระบุว่าอะไรมาก่อน - $(P\cdot Q)\times P$ หรือ $P\cdot (Q \times P)$ ในกรณีที่เกี่ยวข้อง)

Answer 1

มีสองวิธีที่เราอาจเชื่อมโยงคำศัพท์เช่น $(P \cdot Q) \times P$หรือเป็น $P \cdot (Q \times P)$. โชคดีที่อันแรกไม่สมเหตุสมผลเราจะข้ามเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ (เอ่อฉันได้ยินเรื่องตลกนั้นมากี่ครั้งแล้ว?) ดังนั้นวิธีตีความที่ถูกต้องคือใช้มันเป็น$P \cdot (Q \times P)$ซึ่งจุดเวกเตอร์อย่างถูกต้องกับเวกเตอร์อื่น

หากต้องการดูว่าเหตุใดปริมาณนี้จึงเป็นศูนย์โปรดจำไว้ว่าผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวจะส่งคืนเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน (ตั้งฉาก) กับทั้งคู่ ดังนั้น$Q \times P$ เป็นมุมฉากของทั้งคู่ $Q$ และ $P$. ด้วยประการฉะนี้$P \cdot (Q \times P)$เป็นผลิตภัณฑ์จุดระหว่างเวกเตอร์มุมฉากสองเวกเตอร์ คุณจำได้ไหมว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไรเมื่อคุณจุดเวกเตอร์มุมฉากสองเส้น

Answer 2

$Q\times P$ ตั้งฉากกับระนาบที่ทอดโดย $P$ และ $Q$ดังนั้น $P\cdot(Q\times P)=0$.

คุณมีสิทธิ์ที่ $(P\cdot Q)\times P$ ไม่สมเหตุสมผลตั้งแต่นั้นมา $P\cdot Q$ เป็นสเกลาร์