เป็นทุกลำดับ $\sigma(E',E)$- ฟังก์ชั่นเชิงเส้นต่อเนื่องบนพื้นที่ Banach คู่ $E'$ จำเป็นต้องมีการประเมินจุดหรือไม่?
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$ความเป็นคู่ระหว่างช่องว่างเวกเตอร์สองช่อง$E$ และ $F$ เกิน $\bf K$ ($= {\bf R}$ ของ ${\bf C}$) คือตามความหมายรูปแบบทวิภาคี $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ เช่นนั้นถ้า $\langle x, y\rangle =0$ สำหรับทุกๆ $x$ ใน $E$แล้ว $y=0$. และในทางกลับกัน.
เมื่อพิจารณาถึงความเป็นคู่ตามข้างต้นหนึ่งจะกำหนดโทโพโลยีที่อ่อนแอบน$F$มักจะแสดง $\sigma (F,E)$เป็นโทโพโลยีที่หยาบที่สุดตามฟังก์ชันเชิงเส้น $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ มีความต่อเนื่องสำหรับทุกๆ $x$ ใน $E$.
มันเป็นความจริงคลาสสิกที่ทุกๆ $\sigma (F,E)$- ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง $\varphi :F\to \bf K$อาจแสดงด้วยเวกเตอร์ใน$E$ ในแง่ที่มีอยู่ (จำเป็นต้องไม่ซ้ำกัน) $x$ ใน $E$ ดังนั้น $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
ดังนั้นจึงสามารถถาม:
คำถาม . ไม่ข้างต้นยังคงถือถ้าต่อเนื่องจะถูกแทนที่ด้วยความต่อเนื่องตามลำดับ กล่าวอีกนัยหนึ่งต้องทุกครั้งตามลำดับ$\sigma (F, E)$- ทำงานเชิงเส้นต่อเนื่องบน $F$ แทนด้วยเวกเตอร์ใน $E$.
ก่อนที่ผู้อ่านจะข้ามไปที่งานพิสูจน์หรือพิสูจน์ให้ฉันบอกว่าน่าเสียดายที่คำตอบนั้นเป็นลบซึ่งเป็นตัวอย่างการโต้แย้งที่นำเสนอด้านล่าง
ขอผมชำนาญหน่อยโดย จำกัด เฉพาะสถานการณ์ที่ $E$ เป็นพื้นที่ Banach และ $F$ เป็นคู่โทโพโลยีที่มีความเป็นคู่แบบบัญญัติ $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
เพื่อความแม่นยำ:
คำถาม . ปล่อย$E$ เป็นพื้นที่ Banach และปล่อยให้ $\varphi $ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบน $E'$ ซึ่งเรียงตามลำดับ $\sigma (E',E)$- ต่อเนื่อง คือ$\varphi $ จำเป็นต้องแสดงด้วยเวกเตอร์ใน $E$เหรอ?
เห็นได้ชัดว่าถ้า $E$ สะท้อนกลับและฉันคิดว่าฉันสามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน $E=c_0$เช่นเดียวกับ $E=\ell ^1$.
ตัวอย่างเคาน์เตอร์
ปล่อย $E=\sc F(H)$ เป็นชุดของตัวดำเนินการระดับ จำกัด ทั้งหมดในพื้นที่ของฮิลเบิร์ตและ $F=\sc B(H)$ด้วยความเป็นคู่ที่กำหนดโดยวิธีการติดตามกล่าวคือ $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
ในกรณีนี้ $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ กลายเป็นโทโพโลยีตัวดำเนินการที่อ่อนแอ (WOT) ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับโทโพโลยีตัวดำเนินการที่อ่อนแอของซิกมา ($\sigma $-WOT) บนเซตย่อยที่มีขอบเขตของ $\sc B(H)$.
เนื่องจากลำดับ WOT-Convergent ถูกล้อมรอบด้วย Banach-Steinhauss เราจึงมีลำดับ WOT-Convergent นั้นเหมือนกับ $\sigma $-WOT คนบรรจบกัน เป็นไปตามนั้นทุกๆ$\sigma $-WOT- ฟังก์ชั่นเชิงเส้นต่อเนื่องบน $\sc B(H)$ยังเป็น WOT ที่ต่อเนื่อง สร้างเรื่องสั้นสั้น ๆ สำหรับผู้ดำเนินการคลาสการติดตามทุกคน$S$ บน $H$ ของอันดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดฟังก์ชันเชิงเส้น $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ เป็น WOT ต่อเนื่องตามลำดับ แต่ไม่ได้แสดงโดยตัวดำเนินการใน $\sc F(H)$.
คำตอบ
มิคาเอลเดอลาซาลชี้ให้เห็นว่านี่เป็นเรื่องจริงเมื่อ $E$คือแยกกันไม่ออกตามที่แสดงในควันหลง V.12.8 ของคอนเวย์, สนามในฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ 2e
สำหรับตัวอย่างที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ให้พิจารณาช่องว่างลำดับที่นับไม่ได้ $[0, \omega_1]$ซึ่งมีขนาดกะทัดรัด Hausdorff และ $E = C([0, \omega_1])$. ตามทฤษฎีบทการเป็นตัวแทนของ Riesz$E'$ เป็นพื้นที่ของมาตรการเรดอนที่ลงนาม $\mu$ บน $[0, \omega_1]$ด้วยบรรทัดฐานการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ปล่อย$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ไม่ได้แสดงด้วยเวกเตอร์ใด ๆ ใน$E$ ตั้งแต่ฟังก์ชั่น $1_{\{\omega_1\}}$ ไม่ต่อเนื่อง แต่ฉันอ้างว่า $\varphi$ ตามลำดับ $\sigma(E', E)$ ต่อเนื่อง.
ปล่อย $\mu_n$ เป็นลำดับที่มาบรรจบกันเป็น 0 นิ้ว $\sigma(E', E)$ และแก้ไข $\epsilon > 0$. ตั้งแต่ละ$\mu_n$ คือเรดอนดังนั้นการวัดความผันแปรทั้งหมด $|\mu_n|$ดังนั้นเราจึงสามารถประมาณได้ $\{\omega_1\}$ ใน $|\mu_n|$- วัดจากภายนอกโดยชุดเปิด ดังนั้นจึงมีอยู่$\alpha_n < \omega_1$ ดังนั้น $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. ปล่อย$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; แล้ว$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ สำหรับทุกๆ $n$.
กำหนด $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ โดย $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ และสังเกตว่า $f$เป็นไปอย่างต่อเนื่อง ตอนนี้$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
แต่โดยการสันนิษฐาน $\int f\,d\mu_n \to 0$และ $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$ดังนั้นเราจึงสรุป $\varphi(\mu_n) \to 0$.