แผนที่ Gysin ในรูปแบบ $K$- ทฤษฎีเคารพพรมแดน?
ปล่อย $X_1$ และ $X_2$ เป็นสองสปินปิด$^c$ ท่อต่างๆที่มีพรมแดนติดกับการหมุน$^c$ มากมายที่มีขอบเขต $W$.
ปล่อย $Z$ เป็นสปินปิด$^c$ มากมายด้วย $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. ปล่อย$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ เป็นแผนที่ที่ราบรื่นเช่นนั้น $F|_{X_1}=f_1$ และ $F|_{X_2}=f_2$. เราสามารถเชื่อมโยงกับ$f_1$ และ $f_2$ แผนที่ผิดสองทาง (หรือ Gysin) ใน $K$-ทฤษฎี:
$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$
ปล่อย $E_1\to X_1$ และ $E_2\to X_2$ เป็นสอง $\mathbb{C}$-vector บันเดิลที่มีเวกเตอร์บันเดิล $\Omega\to W$ น่าพอใจ $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ และ $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. ปล่อย$[E_i]\in K^0(X_i)$ แสดงถึง $K$- ชั้นเรียนที่กำหนดโดย $E_i$.
คำถาม:จริงหรือไม่$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$เหรอ?
เพิ่มหลังจาก:ฉันสนใจมากที่สุดในแนวทางที่ไม่ใช้ Poincare duality โดยตรงสำหรับ K-theory / K-homology
คำตอบ
ปล่อย $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ และ $f:M\to X$
เลือกการฝังที่ราบรื่น $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, แสดงโดย $\chi$ กลุ่มปกติของ $X$ และโดย $\mu$ กลุ่มปกติของ $M$ หลังจากการเปลี่ยนรูปขนาดเล็กที่เหมาะสมของ $i\circ f$.
ปล่อย $\nu=\mu|_N$ และ $\eta$ เป็นกลุ่มปกติของ $N\subset M$ (ซึ่งเป็นเรื่องเล็กน้อยและมิติเดียว)
เมื่อพิจารณาจากพื้นที่ใกล้เคียงท่อเราจะได้รับแผนที่ธรรมชาติ:
$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, ที่ไหน $Th$ หมายถึงพื้นที่ Thom
หลังจากใช้ Thom isomorphism $th$ บน $K^\bullet$ เราได้คำจำกัดความของแผนที่ Gysin (ไปใน "ทางขวา" บนไฟล์ $Th$ของ). ดังนั้นสำหรับ$f_!(E|_N)=0$ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่า $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
ที่จริง $t^*$กำลังผ่าน homomorphism ที่เชื่อมต่อกัน กล่าวคือมีแผนภาพการสับเปลี่ยน:
$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$
ลูกศรบนมาจากย่านท่อ
isomorphism แนวนอนมาจากความไม่สำคัญของ $\eta$ในขณะระงับ $\Sigma$ จาก Puppe cofiber ลำดับ:
$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$
แผนที่ $\sigma$ อธิบายการสับเปลี่ยนและมาจาก:
$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ ที่ไหน $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ เป็นปลอกคอของ $N$.
สุดท้าย $\Sigma^*$ คือ homorphism ที่เชื่อมต่อและเป็นไปตามนั้น $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ เพื่อทุกสิ่ง $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$ดังนั้น $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
คำตอบคือใช่โดยใช้คุณสมบัติทั่วไปของการวางแนวและคลาสพื้นฐาน
ปล่อย $X_1$ และ $X_2$ เป็น $n$- มิติ แล้ว$f_{!i}$ คือคอมโพสิต $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$
ในขณะเดียวกัน Poincare duality สำหรับ $W$ มีแบบฟอร์ม $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$และ $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. ด้วยประการฉะนี้$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$และอื่น ๆ
$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$
ตั้งแต่คอมโพสิต
$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$
เป็นศูนย์