แผนที่ต่อเนื่องใด ๆ จะเป็นแบบโฮโมโทปิกเป็นหนึ่งเดียวโดยสมมติว่ามีค่าคงที่ในหลาย ๆ จุด
ปล่อย $X$ และ $Y$เป็นช่องว่างโทโพโลยี สมมติ$X$สามารถทำสัญญาได้ในท้องถิ่นและไม่มีส่วนย่อย จำกัด ที่หนาแน่น สมมติ$Y$ เชื่อมต่อกับเส้นทาง
ให้ $n$ คู่ของคะแนน $(x_i, y_i)$ ที่ไหน $x_i\in X$ และ $y_i\in Y$ สำหรับ $1\leq i\leq n$ และแผนที่ต่อเนื่อง $f:X\to Y$ เราจะหาแผนที่ต่อเนื่องได้ไหม $g:X\to Y$ homotopic ถึง $f$ ดังนั้น $g(x_i)=y_i$เหรอ?
คำตอบ
ปล่อย $X$ เป็นเส้นจริงที่มีต้นกำเนิดสองเท่าและ $Y$ เป็น $\Bbb R$และปล่อยให้ $f$ เป็นแผนที่ฉายที่ยุบจุดเริ่มต้นทั้งสอง $0^+$ และ $0^-$ ถึง $0$. จากนั้นแผนที่ใด ๆ$g: X \to Y$ พอใจ $g(0^+) = g(0^-)$ เพราะ $\Bbb R$คือ Hausdorff ดังนั้น,$f$ ไม่ใช่แผนที่ที่ส่งสองจุดนี้ไปยังจุดที่แตกต่างกัน
คำถามของคุณเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการรวม $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$มีคุณสมบัติการขยาย homotopy โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันเป็นการรวมเอาการหดกลับของความผิดปกติของพื้นที่ใกล้เคียงเข้าด้วยกันก็จะมี homotopies ดังกล่าว ในตัวอย่างข้างต้นแต่ละจุดแต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงที่หดตัวได้ แต่จุดเริ่มต้นทั้งสองรวมกันไม่มีย่านที่ถอยกลับเข้ามา