ภาพของชุดกะทัดรัดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่องทีละชิ้น
ปล่อย $a,b>0\in\mathbb{R}$. ปล่อย$U$ เป็นโดเมนใน $\mathbb{C}^n$. ปล่อย$f:[a,b]\longrightarrow U$เป็นแผนที่ต่อเนื่องทีละชิ้น แล้วก็คือ$f[a,b]$กะทัดรัด? ถ้าไม่กระชับจะมีขอบเขตไหม
ตกลง. สิ่งนี้อยู่ในบริบทต่อไปนี้ ฉันได้รับเส้นทางที่ราบรื่นเป็นชิ้น ๆ$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. ที่ไหน$\gamma(a)=z$ และ $\gamma(b)=w$สำหรับให้ $z,w\in U$. เรายังได้รับฟังก์ชั่น$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$ซึ่งเป็นเซมิต่อเนื่องตอนบน ตอนนี้ว่ากันว่า$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$มีขอบเขตและวัดผลได้ ฉันอยากรู้ว่าเหตุใดฟังก์ชันจึงมีขอบเขต ฉันรู้แล้ว$\gamma[a,b]$มีขนาดกะทัดรัด และ$\gamma$การเป็นเซมิต่อเนื่องส่วนบนจะบรรลุสูงสุดในชุดขนาดกะทัดรัด แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับ$\gamma’$.
คำตอบ
กะทัดรัดไม่จำเป็นต้อง: เปิด $[0,1]$ ปล่อย $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ แล้ว $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$
ถูกผูกไว้ใช่: ประการแรก lemma: ถ้า $f$ เปิดต่อเนื่อง $(a,b)$ และ $f$ มีขีด จำกัด จำกัด ที่จุดสิ้นสุดแล้ว $f(a,b)$ มีขอบเขต
หลักฐาน: สมมติว่า $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ ปล่อย $\epsilon=1.$ แล้วมีอยู่ $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ ดังนั้น $|f(x)-L|<1$ สำหรับ $x\in (a,a+\delta_a).$ ดังนั้น $x,$
$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$
ในทำนองเดียวกันมีอยู่ $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ ดังนั้น $|f(x)|<1+|M|$ สำหรับ $x\in (b-\delta_b,b).$ ก็เป็นไปตามนั้น $f$ ถูกล้อมรอบด้วยฉาก $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$
ตั้งแต่ $f$ ต่อเนื่องในชุดกะทัดรัด $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$มีขนาดกะทัดรัดจึงมีขอบเขต ก็เป็นไปตามนั้น$f(a,b)$ มีขอบเขต
ตอนนี้สมมติว่า $f$ เปิดต่อเนื่องทีละชิ้น $[a,b].$ จากนั้นมีจุดอยู่ $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ ดังนั้น $f$ ต่อเนื่องในแต่ละ $I_k=(x_{k-1},x_k)$ และมีขีด จำกัด จำกัด ที่จุดสิ้นสุดของ $I_k.$ โดยแต่ละตัวอักษร $f(I_k)$มีขอบเขต ชุด$f(\{x_0,\dots x_n\})$มีขอบเขตด้วย ดังนั้น
$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$
มีขอบเขต