พีชคณิตเชิงเส้น - มิติของปัญหาพื้นที่ย่อย

Aug 16 2020

ฉันพบคำถามนี้จากสไลด์การบรรยายในหัวข้อพีชคณิตเชิงเส้น GRE ของแบบทดสอบเรื่องคณิตศาสตร์และคิดไม่ออก

สมมติ $V$คือปริภูมิเวกเตอร์จริงของมิติ จำกัด n เรียกชุดเมทริกซ์จาก$V$ เข้าไปในตัวเอง $M(V)$.
ปล่อย$T∈ M(V)$. พิจารณาสองพื้นที่ย่อย$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ และ $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

ข้อใดต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

I. ถ้า $V$ มีพื้นฐานที่มีเฉพาะ eigenvector ของ $T$ แล้ว $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

สาม.$\dim(U)< n$.

ฉันคิดว่า II ต้องเป็นเท็จ แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจความจริงของ I หรือ III ได้ ขอความช่วยเหลือใด ๆ !

คำตอบ

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง สำหรับใช้$n = 2$และปล่อยให้ $T(e_1) = e_1$ และ $T(e_2) = 2e_2$. ปล่อย$X$ เป็นเซนต์ $X(e_1) = e_1$ และ $X(e_2) = e_1 + e_2$. แล้ว$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$แต่ $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. แล้ว$TX \neq XT$.

2 เป็นจริง พิจารณาแผนที่เชิงเส้น$f: M(V) \to M(V)$ การส่ง $X$ ถึง $TX - XT$. จากนั้นเราอาจเขียน$W = \im(f)$ และ $U = \ker(f)$. จากนั้นตามทฤษฎีบทอันดับโมฆะ$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง สำหรับใช้$n > 1$ และ $T =$ตัวตน. แล้ว$U = M(V)$ ดังนั้น $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.