พิสูจน์หรือหักล้างข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับซีรีส์คำนิยามที่ถูกโค่นล้ม (นิยามที่คิดค้นขึ้น)
ฉันเรียนรู้การวิเคราะห์จริงด้วยตนเองจากUnderstanding AnalysisStephen Abbot ผมอยากจะถามว่าผมได้สรุปข้อสรุปที่ถูกต้องสำหรับด้านล่างยืนยันเกี่ยวกับsubvergent (ความคมชัดคิดค้น) ชุด
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
คำนิยาม สมมติว่าซีรีส์ล้มล้างหากลำดับของผลรวมบางส่วนมีลำดับต่อมาที่มาบรรจบกัน
พิจารณาคำจำกัดความนี้ (คิดค้น) สักครู่แล้วตัดสินใจว่าข้อความใดต่อไปนี้เป็นข้อเสนอที่ถูกต้องเกี่ยวกับอนุกรมที่ถูกย่อยสลาย:
(ก) ถ้า $(a_n)$ มีขอบเขตแล้ว $\sum a_n$ ล้มล้าง
(b) อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า
(c) ถ้า $\sum \absval{a_n}$ โค่นล้มแล้ว $\sum a_n$ ล้มล้างเช่นกัน
(ง) ถ้า $\sum a_n$ โค่นล้มแล้ว $(a_n)$ มีการบรรจบกันในภายหลัง
หลักฐาน. (ก) เรื่องนี้เป็นเท็จ พิจารณาลำดับเป็นตัวอย่าง$(a_n):=1$. ลำดับของผลรวมบางส่วนคือ$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. ไม่มีผลต่อจาก$(s_n)$มาบรรจบกัน ดังนั้น,$\sum {a_n}$ ไม่ได้ถูกลบล้าง
(b) เนื่องจากอนุกรมเป็นแบบคอนเวอร์เจนลำดับของผลรวมบางส่วนจึงมาบรรจบกันดังนั้นผลรวมบางส่วนในเวลาต่อมาจึงรวมกันเป็นขีด จำกัด เดียวกัน ดังนั้นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ทั้งหมดจึงมีค่าน้อยกว่า
(c) ฉันคิดว่าเรื่องนี้เป็นจริง ปล่อย$(s_n)$ เป็นลำดับของผลรวมบางส่วนของค่าสัมบูรณ์และ $(t_n)$ เป็นลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรม $\sum a_n$.
ตามความหมายของการล่มสลายมีบางอย่างตามมา $(s_{f(n)})$ ของ $(s_n)$ที่มาบรรจบกัน สมมติว่าไม่มีการสูญเสียทั่วไป$(s_{2n})$เป็นสิ่งหนึ่งที่มาบรรจบกันในภายหลัง จากนั้นมีไฟล์$N \in \mathbf{N}$ ดังนั้น, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
เพื่อทุกสิ่ง $n > m \ge N$.
เมื่อใช้ข้อเท็จจริงนี้เราสามารถเขียนอสมการที่ดีในภายหลังได้ $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
เพื่อทุกสิ่ง $n \ge N$.
ดังที่กล่าวมาข้างต้นเป็นจริงสำหรับเหตุการณ์ต่อมาทั้งหมด $(s_{f(n)})$ ที่ไหน $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ เป็นอคติ $\sum a_n$ อยู่ในระดับต่ำกว่า
(ง) ฉันไม่สามารถคิดตัวอย่างตอบโต้สำหรับสิ่งนี้ได้
คำตอบ
- สำหรับก) หลักฐานของคุณก็โอเค
- สำหรับ b) ก็โอเคเช่นกัน
- สำหรับ c) ฉันจะเขียน:
กันเถอะ $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ และ $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ เพื่อทุกสิ่ง $n$.
แล้วสำหรับทุกคน $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ และ $a_n = a_n^+ - a_n^-$.
ตั้งแต่ $\sum |a_n|$ เป็น subvergent และ $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ และ $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$เรามีสิ่งนั้น $\sum a_n^+$ และ $\sum a_n^-$ มีค่าน้อยกว่าดังนั้นผลรวม $\sum a_n$ อยู่ในระดับต่ำกว่า
(ความจริงที่ว่าถ้า $\sum u_n$ มาบรรจบกับ $(u_n)$ บวกแล้วสำหรับทุกคน $(v_n)$ บวกเช่นนั้น $\forall n,v_n\leqslant u_n$ ผู้ทำลายล้างจะสมควรได้รับการพิสูจน์ แต่ก็ไม่ยากเท่าไหร่)
- สำหรับ d) ฉันกำหนด $(a_n)$ เช่นนั้นสำหรับ $n\geqslant 0$,
$a_{2n} = -n$ และ $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.
แล้ว $\sum a_n$ มาบรรจบกันตั้งแต่ (ถ้าเราสังเกต $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ มาบรรจบกันเมื่อ $n\rightarrow +\infty$.
แต่เห็นได้ชัดว่าเราไม่มีสิ่งต่อมาที่มาบรรจบกัน