พิสูจน์ความน่าเบื่อของฟังก์ชันโดยปริยาย
ฉันกำลังศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันเบต้าและฉันพบความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$
ที่ไหน $\text{B}$ ย่อมาจากฟังก์ชัน Beta
ฉันสามารถแสดงให้ทุกคนเห็น $\alpha>0$มีอยู่ไม่ซ้ำกัน $k \in (0,\infty)$ความเสมอภาคข้างต้นถือ สิ่งที่สนใจฉันคือเมื่อฉันพล็อตกราฟของ$k$ ในแง่ของ $\alpha$ ใน Wolfram ปรากฎว่า $k$ เป็นฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเคร่งครัด wrt $\alpha$.
ฉันไม่สามารถพิสูจน์การอ้างสิทธิ์ข้างต้นได้ แต่ฉันมีสัญชาตญาณบางอย่าง การรวมโดยชิ้นส่วนจะให้ความเท่าเทียมกันข้างต้นเทียบเท่ากับ:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$
ดังนั้นเมื่อ $\alpha$ มีขนาดใหญ่ระยะ $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ กลายเป็นครอบงำที่ $\lambda=1/2$. ดังนั้น,$2k/4$ ต้องอยู่ใกล้ ๆ $1$เช่นกัน. เมื่อไหร่$\alpha$ เล็ก, $k$ ต้องมีขนาดใหญ่กว่า $2$ เพื่อชดเชยส่วนที่ $\lambda$ อยู่ห่างจาก $1/2$.
คำแนะนำ / ข้อเสนอแนะส่วนใหญ่จะชื่นชม
คำตอบ
ปล่อย $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัยที่ใช้กับ$R\left(a,k\right)=0$ เรามี
$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$
เพราะ $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ และ $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. แจ้งให้เราทราบหากข้อมูลนี้ชัดเจน