พิสูจน์ $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$ เป็นเท็จ

Aug 18 2020

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$$

ให้ $\epsilon > 0$ $$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon.$$ เขียนใหม่เป็น $$-\epsilon < \frac{1}{x} - 1 < \epsilon$$ $$-\epsilon + 1< \frac{1}{x} < \epsilon + 1$$ ถ้า epsilon มีขนาดเล็กมากแสดงว่าเรามีค่าใกล้เคียงกันทั้งสองด้าน $1$แต่ฟังก์ชันเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้นดังนั้นทั้งสองด้านจึงเป็นเท็จ ถ้า$\epsilon$ มีขนาดใหญ่ทางด้านขวาเราจะได้รับค่าบวกมาก แต่ด้วย $ n \in (0,1)$ฟังก์ชั่นก็ใหญ่ขึ้นเช่นกัน ดังนั้นด้านขวาจึงล้มเหลว นี่เป็นหลักฐานเสียงหรือไม่? และถ้าใช่ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

คำตอบ

3 Melody Aug 18 2020 at 13:39

ฉันยอมรับมันเพราะฉันรู้ว่าคุณหมายถึงอะไรเล็กมาก อย่างไรก็ตามในกรณีนี้ควรระบุให้ชัดเจนว่าคุณหมายถึงอะไร ถ้าเราใช้ 1/2 และปล่อยให้$x>2$แล้ว $1/x<1/2$. เราจึงไม่สามารถมี$1/x\to1$.

จริงๆแล้วด้านขวามือไม่สำคัญในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องทำลายอสมการเพียงตัวเดียวเพื่อแสดงว่าการบรรจบกันไม่ได้เกิดขึ้น แต่ไม่ว่าในกรณีใดก็เป็นเรื่องจริงเสมอ$x\geq1$ ที่ $1/x<1+\epsilon$ดังนั้นอสมการทางขวาจึงมี

5 fleablood Aug 18 2020 at 14:21

ข้อโต้แย้งของคุณว่า $\frac 1x$ ไปที่ $0$จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์และโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งที่ถูกขอให้พิสูจน์ พิสูจน์$\frac 1x$ ไม่ไป$1$.

และถ้าคุณไม่พิสูจน์ให้เห็นว่า$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$ (ซึ่งเป็นเช่นนั้น - ดูภาคผนวก) นั่นยังไม่เพียงพอเพราะแม้ว่าสัญกรณ์ขีด จำกัด $\lim_{x\to \infty}f(x) = L$ ดูเหมือนความเท่าเทียมกันจริงๆแล้วมันมีความหมายสำหรับทุกๆ$\epsilon > 0$ มี $N$ ดังนั้น $x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon$และเราไม่รู้ว่าไม่มีสองอย่างนี้$L$s. (แม้ว่าเราจะพิสูจน์ได้และพิสูจน์ได้ตั้งแต่เนิ่นๆ - ดูภาคผนวก)

นี่คือคำแนะนำ: $|\frac 1x - 1| =|1-\frac 1x|= |\frac {x-1}x|$.

ดังนั้นถ้า $|\frac 1x - 1|<\epsilon$ แล้ว $-\epsilon < \frac {x-1}x < \epsilon$. ตอนนี้เป็น$x\to \infty$ เราสามารถสันนิษฐานได้ $x > 1$ ดังนั้น $-\epsilon x < 0 < x-1 < x\epsilon$

$x-x\epsilon=x(1-\epsilon) < 1$

หากเราเลือกไฟล์ $\epsilon$ ดังนั้น $0<\epsilon < 1$ เรามี $x < \frac 1{1-\epsilon}$.

นั่นทำให้ขีด จำกัด บน $x$ ซึ่งขัดแย้งกับสิ่งนั้น $x \to \infty$ จึงเป็นไปไม่ได้

======

ภาคผนวก:

อ้างสิทธิ์: $\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.

Pf: สำหรับใด ๆ $\epsilon >0$ ปล่อย $N =\frac 1{\epsilon}$(ซึ่งเป็นบวก) ถ้า$x > N$ แล้ว $|\frac 1x -0| = \frac 1x < \frac 1N =\epsilon$.

การอ้างสิทธิ์: ถ้า $\lim_{x\to \infty} f(x) = L$ และ $M \ne L$ แล้ว $\lim_{x\to \infty} f(x)= M$ ไม่ใช่ความจริง.

หลักฐาน: ถ้า $L \ne M$ แล้ว $|L - M| > 0$. ปล่อย$\epsilon = \frac {|L-M|}2$

ถ้า $|f(x) - M| < \epsilon$ และ $|f(x) - L| < \epsilon$ แล้ว

$|L - M| = |(L - f(x)) + (f(x) - M)| \le |L-f(x)| + |f(x)-M| < \epsilon + \epsilon = |L-M|$

ดังนั้น $|L-M| < |L-M|$ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่มี$N$ หรือ $N'$ ดังนั้นถ้า $x >N$ และ $x > N'$ (กล่าวคือ $x > \max(N,N')$ แล้ว $|f(x)-L| < \epsilon$ และ $|f(x) -M| < \epsilon$ อย่างที่เป็นไปไม่ได้

......

ดังนั้นหากคุณไม่ต้องการพิสูจน์อย่างที่ฉันทำในเนื้อหาของโพสต์นี้คุณสามารถพิสูจน์และพิสูจน์ขีด จำกัด เมื่อมีอยู่จริง และนั่น$\lim_{x\to \infty}\frac 1x =0$ และนั่น $0 \ne 1$ ดังนั้นการเรียกร้อง $\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 1$ เป็นเท็จ

2 user Aug 18 2020 at 13:43

ให้ $\epsilon > 0$ ถือว่า wlog $x>1$ และ $\epsilon<1$ แล้ว

$$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon \iff1-\frac1x < \epsilon \iff \frac1x>1-\epsilon \iff x<\frac1{1-\epsilon }$$

แล้วอสมการล้มเหลวสำหรับสิ่งใด ๆ $x\ge M=\frac1{1-\epsilon }$.

1 CSquared Aug 18 2020 at 15:16

ให้พิจารณาอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเช่นเดียวกับวิธีการพิสูจน์ทางเลือก $$I=\lim_{x\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^2}\,dt$$

เรารู้ตั้งแต่นั้นมา $t^2\geq 0$ สำหรับทุกอย่าง $t\in\mathbb{R}$และในกรณีนี้ $t\geq 1>0$เราจึงมีสิ่งนั้น $1\geq \frac{1}{t^2}>0$ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันในปริพันธ์เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดในช่วงเวลา $[1,\infty)$ดังนั้นอินทิกรัลควรเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดเช่นกันนั่นคือ $I>0$. หลังจากคำนวณแล้วเราจะเห็นสิ่งนั้น$$I=\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{t}\bigg|_{t=1}^{t=x} = \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}+1=\lim_{x\to\infty}-(\frac{1}{x}-1)=-(1-1)=0\not>0$$

ดังนั้นสมมติฐานที่ว่า $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=1$ เป็นเท็จ

Andrew Aug 18 2020 at 14:43

หากต้องการแสดงว่าข้อความนั้นเป็นเท็จให้ค้นหาไฟล์ $\epsilon$ ซึ่งไม่มีไฟล์ $x^\star$เช่นนั้นเมื่อใดก็ตาม $x \geq x\star$, $| \frac{1}{x} - 1 | < \epsilon$ไม่ถือ สมมติ$L = 1$ และปล่อยให้ $\epsilon = \frac{1}{2}$. พิจารณาว่าเมื่อใด$x^\star \geq 1$แล้ว \begin{align*} | \frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}

เมื่อใดก็ตาม $x \geq 2$. พิจารณาว่าเมื่อใด$x^\star <1$แล้ว \begin{align*} |\frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*} เมื่อใดก็ตาม $x \geq 2$.

ดังนั้นจึงไม่มีไฟล์ $x^\star$ สำหรับ $\epsilon = \frac{1}{2}$. ดังนั้นจึงต้องเป็นเท็จอย่างแน่นอนว่าขีด จำกัด คือ$1$.