พิสูจน์ $\sum {\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {\prod \left( a+b \right) }{16abc}}\geq \frac{5}{4}$

Question

สำหรับ $a,b,c>0.$ พิสูจน์$:$ $${\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {bc}{ \left( b+c \right) ^{2}}}+{\frac {ac}{ \left( c+a \right) ^{2}}}+\,{\frac { \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) }{16abc}}\geqslant \frac{5}{4}$$ AM-GM ฆ่าง่าย แต่ฉันคิดว่ามันยากที่จะได้รับ SOS$,$ ฉันทำไม่ได้!

ถ้า $c=\min\{a,b,c\},$ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้จาก Maple$:$

อย่างไรก็ตามมันน่าเกลียด ดังนั้นฉันขอ SOS อีกครั้ง

PS: ความไม่เท่าเทียมนี้มาจากเหงียนเวียดฮัง

มีหลักฐาน AM-GM อยู่ที่นี่: https://www.facebook.com/groups/1486244404996949/permalink/2695082927446418/

ดังนั้นฉันไม่ต้องการหลักฐาน AM-GM

Answer 1

ใช่ SOS ช่วยได้

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า $$\frac{\prod\limits_{cyc}(a+b)}{16abc}-\frac{1}{2}\geq\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right)$$ หรือ $$\frac{\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2}{16abc}\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}$$ หรือ $$\sum_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{4}{(a+b)^2}\right)\geq0$$ หรือ $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{ab(a+b)^2}\geq0.$$