พิสูจน์ว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น Riemann Integrable

Question

ปล่อย $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$กำหนดโดย\ begin {สมการ *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {มิฉะนั้น} \ end {cases} \ end {สมการ *}พิสูจน์สิ่งนั้น$f$ เป็น Riemann Integrable

ฉันรู้ว่าสิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้ $f$ ไม่ต่อเนื่องเฉพาะในหลาย ๆ จุดเท่านั้น $\frac{1}{n}$ดังนั้นจึงเป็น Riemann Integrable

ฉันต้องการดูขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับการค้นหา $L(P,f)$ และ $U(P,f)$ ที่ไหน $P$ เป็นพาร์ติชันใด ๆ ที่ถูกยึดครอง $[0,1]$. ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็น Riemann Integrable โดยใช้ขั้นตอนนี้ ใครช่วยฉันหน่อยได้ไหม ขอบคุณล่วงหน้า.

Answer 1

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า $L(P,f) = 0$ สำหรับพาร์ติชันใด ๆ

ใช้ $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (ที่ไหน $n$ มีขนาดใหญ่) และพาร์ติชันที่มีช่วงเวลาย่อย

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ และแสดงว่า $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

สำหรับใด ๆ $\epsilon > 0$ เราสามารถเลือกได้ $n$ ดังนั้น $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ และเกณฑ์ของ Riemann เป็นที่พอใจ