พิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็ม $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$

Question

ฉันได้ต่อสู้กับปัญหานี้มาระยะหนึ่งแล้วถามเพื่อนและครูบางคนแล้วฉันก็ยังไม่พบวิธีแก้ไข นี่คือปัญหา:

พิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบจำนวนเต็มสำหรับสมการ $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$

นี่คือสิ่งที่ฉันได้ลอง:

• การขยายย้ายสิ่งต่างๆไปรอบ ๆ การแยกตัวประกอบ (ฉันไม่สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นประโยชน์ได้)
• การขยายการแปลงเป็นสมการลูกบาศก์ (แก้ยากเกินไป)
• การขยายการแปลงเป็นกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสอง (ฉันไม่สามารถทำให้มันง่ายพอ)

จะดีมากถ้าพวกคุณช่วยได้!

ดีที่สุด Anay Aggarwal

Answer 1

เขียนสมการใหม่เป็น $y/x=x(y^2-1)-2y$เราเห็นว่าเราต้องมี $x\mid y$(เนื่องจากด้านขวามือเป็นจำนวนเต็ม) ดังนั้นการปล่อย$y=xu$ (ด้วย $x\not=0$), เราได้รับ

$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$

ซึ่งหมายความว่า $x\mid u$ และ $u\mid x$ดังนั้น $u=\sigma x$ ด้วย $\sigma=\pm1$. แต่สิ่งนี้ให้

$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$

ซึ่งทำให้ง่ายขึ้น (ในการยกเลิกไฟล์ $x$) ถึง

$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$

และไม่ $x^4-2x-2=0$ หรือ $x^4+2x=0$ มีรากจำนวนเต็ม (ไม่ใช่ศูนย์) ใด ๆ

Answer 2

คุณไม่สามารถมีได้ $x=0$ คูณด้วย $x$ ที่จะได้รับ $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$

จากนั้นคุณก็มี $y=\pm 1$ [หรือ $y=0$] (ซึ่งคุณสามารถยกเว้นได้) หรือด้านซ้ายมือเป็นค่าบวก

ตอนนี้เปรียบเทียบเงื่อนไขใน $x$ ด้านใดด้านหนึ่ง (โปรดระวังว่า $2x+1$ อาจเป็นลบ) และข้อกำหนดใน $y$ ด้านใดด้านหนึ่ง (ด้วยความระมัดระวังเหมือนกัน)

Answer 3

เราได้รับ $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ ด้วย $x,y\in\Bbb Z$. การปรากฏตัวของ$1/x$ หมายถึงระยะ $x\neq0$ และด้วยเหตุนี้ $y\neq0$. การคูณด้วย$x$ ให้ $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$โปรดทราบว่า $2x+1$เป็นเรื่องแปลก ดังนั้น$y$ ไม่สามารถแปลกได้เพราะงั้น $y^2-1$จะเป็นคู่และสมการของเราจะถือเอาคู่กับจำนวนคี่ ดังนั้น$y$เป็นคู่ ดังนั้น$x^2$ เป็นคู่และดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้น $x$. ก็เป็นไปตามนั้น$y$ หารด้วย $4$. แล้ว$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$ในขณะที่ $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. ทำให้สมการของเราไม่เป็นที่พอใจ

Answer 4

ยินดีต้อนรับสู่ MSE คุณสามารถแก้ปัญหาสำหรับ$y$ โดยใช้สูตรกำลังสอง: $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$ให้เครดิตกับ JW Tanner สำหรับการกอบกู้คำตอบนี้ สำหรับ$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ อยู่ระหว่าง $(2x^2+1)^2$ และ $(2x^2+2)^2$ดังนั้นรากที่สองของมันจึงไม่ใช่จำนวนเต็ม ในทำนองเดียวกันสำหรับ$x\le-1$มันอยู่ระหว่าง $4x^4$ และ $(2x^2+1)^2$และเราสามารถแยกแยะกรณีได้ $x=0$ในสมการเดิม จากนั้นไม่มีโซลูชันจำนวนเต็ม

Answer 5

เรามี

$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ แก้เป็นกำลังสองใน $x$

$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$

ใช้สูตรกำลังสอง

$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$

$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$

เราสามารถแยกตัวประกอบก $2$ ที่จะได้รับ

$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$

ลองดูที่รากที่สองรากที่มีเหตุผลเดียวคือ $y = 0$ (โดย RRT) แต่การทดสอบโซลูชันนี้ $x = 0$และนิพจน์แรกมี $\frac{y}{x}$ ในนั้นและหารด้วย $0$ ผิดกฎหมายในกรณีนี้

อีกวิธีหนึ่งในการดูว่า $y = 0$ เป็นรากที่มีเหตุผลเท่านั้นที่จะแยกตัวประกอบ

$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$

แล้ว $y^2+y-1$ ไม่มีรากที่เป็นเหตุเป็นผล

ดังนั้นจึงไม่มีโซลูชันจำนวนเต็ม

Answer 6

แม้ว่าคุณจะพูดถึงว่าการสร้างกราฟนั้นไม่ได้ให้ข้อพิสูจน์ แต่ก็อาจช่วยในการรับรู้ว่ามีสิ่งใดน่าสนใจบ้าง ถ้าเราวาดสมการที่ Desmos เราจะได้:

https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0

กราฟนี้ทำให้เห็นได้ชัดว่าไม่มีโซลูชันจำนวนเต็มนอกเหนือจาก $(0,0)$ซึ่งเราต้องกำจัดเพราะเราไม่มี $x=0$. แต่จะพิสูจน์ได้อย่างไร? ฉันคิดว่าการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งคือทางออกที่ดีที่สุดของเรา

สมมติ $x, y \in \mathbb Z $. จากนั้นด้านซ้าย$x(y^2-1)$ เป็นจำนวนเต็มเสมอ

เรารู้แล้ว $x \neq 0$

ก่อนอื่นให้พิจารณา $x = \pm 1$. เรามี$y^2 - 1 = 3y$ หรือ $1-y^2=y$. ทั้งสองอย่าง$y^2-3y-1$ หรือ $y^2+y-1$ มีรากที่มีเหตุผล (โดยทฤษฎีบทรากเหตุผล $y$ สามารถเป็นได้เท่านั้น $\pm 1$และไม่มีทางเลือกใดให้เราเป็นศูนย์)

ประการที่สองพิจารณา $x$คือจำนวนเต็มอื่น ๆ ดังนั้น$2+1/x$ไม่ใช่จำนวนเต็ม เนื่องจากเรารู้ว่าด้านซ้ายต้องเป็นจำนวนเต็มสำหรับด้านขวาจะต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย$y$ ต้องเป็นจำนวนเต็มผลคูณของ $x$, หรือ $y=kx, k \in \mathbb Z$. ในกรณีนี้เรามี:

$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$

ตามทฤษฎีบทรากที่มีเหตุผลรูทจำนวนเต็มใด ๆ ต้องเป็นหนึ่งใน $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. เนื่องจากไม่มีรากใด ๆ ที่ทำให้ด้านซ้ายเท่ากับศูนย์สำหรับจำนวนเต็ม$k$ไม่มีรากจำนวนเต็มสำหรับ $|x| > 1$.

เราได้กำจัดโซลูชันจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ $x$. จึงไม่มีทางแก้ด้วย$x,y \in \mathbb Z$.

ซับซ้อนเล็กน้อย แต่ฉันหวังว่ามันจะช่วยได้