พิสูจน์ว่าถ้า $a+b$ คือจำนวนอตรรกยะจากนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน $a$ หรือ $b$ ไม่มีเหตุผล
ฉันเจอคำถามนี้ในหนังสือเล่มหนึ่ง ฉันพยายามพิสูจน์เงื่อนไขดังต่อไปนี้: สมมติว่า a และ b มีเหตุผล ผลรวมของ$a$ และ $b$ มีเหตุผลซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขซึ่งก็คือ $a+b$ไม่มีเหตุผล ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน a หรือ b จึงไม่มีเหตุผล
ฉันรู้สึกว่ามีบางอย่างผิดปกติที่นั่น ฉันรู้สึกว่าการใช้การพิสูจน์ความขัดแย้งที่นี่อาจดีกว่า แต่ฉันไม่แน่ใจเพราะฉันยังใหม่กับโลกแห่งการพิสูจน์
คำตอบ
ข้อความที่คุณพยายามพิสูจน์คือ $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. นี่เป็นเพียงการแปลสัญลักษณ์ของคำสั่ง "สำหรับทุกๆ$a,b$, ถ้า $a+b$ ไม่มีเหตุผลอย่างน้อยหนึ่งใน $a$ หรือ $b$ ไม่มีเหตุผล ".
นี่คือคำสั่ง $X$ คือ "$a+b\notin \Bbb{Q}$"และคำสั่ง $Y$ คือ "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$"ดังนั้นความขัดแย้งของ" สำหรับทุกๆ $a,b$ ($X \implies Y$) "is" สำหรับทุกๆ $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$"ซึ่งในกรณีนี้คือ:
สำหรับทุกๆ $a,b$ เรามี ($a\in \Bbb{Q}$ และ $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
และนี่คือสิ่งที่คุณโต้เถียง
ฉันต้องการพูดถึงความคิดเห็นของคุณว่า "ฉันไม่เห็นว่าการขัดแย้งกันทำงานที่นี่"
ปล่อย $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (ชุดของจำนวนอตรรกยะ)
คุณต้องการแสดงสิ่งนั้น
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
ก่อนที่จะเปลี่ยนไปใช้ contrapositive โปรดทราบว่าสำหรับ $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
ตอนนี้ความขัดแย้งกลายเป็น
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ ซึ่งตามข้อสังเกตข้างต้นคือ $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของ $\mathbb{Q}$.
จำไว้ด้วยว่า $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.