พิสูจน์ว่าถ้า $X=\{(x,y) \in \mathbb R^2:y=mx + b\}$แล้ว $X \cong \mathbb R$
ในตำราโทโพโลยีทั่วไปของฉันมีแบบฝึกหัดต่อไปนี้:
ปล่อย $m, c \in \mathbb R$ และ $X$ พื้นที่ย่อยของ $\Bbb R^2$ ให้โดย $X=\{(x,y) \in \mathbb R^2:y=mx + b\}$. พิสูจน์ว่า$X$ เป็น homeomorphic เพื่อ $\Bbb R$.
ฉันได้ข้อพิสูจน์สำหรับเรื่องนี้ แต่ฉันคิดว่าฉันซับซ้อนเกินไป แต่ฉันก็ยังอยากรู้ว่ามันถูกต้องหรือไม่
หลักฐานของฉัน:
มากำหนดนิยามใหม่ $X$ เช่น: $X = \{(t,mt+c):t \in \Bbb R\}$. ตอนนี้เราสามารถกำหนด funcion ต่อไปนี้:
$$f:\Bbb R \to X$$ $$f(x)=(x,mx + c)$$
ฟังก์ชันนี้เป็น bijection ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่า$f$เป็นไปอย่างต่อเนื่อง ปล่อย$\mathcal B_{X}$ แสดงถึงพื้นฐานของพื้นที่ทอพอโลยี $(X,\tau_X)$. ปล่อย$\mathcal B$ เป็นพื้นฐานสำหรับ $(\mathbb R,\tau)$ และ $\mathcal B'$ พื้นฐานสำหรับ $ (\mathbb R^2,\tau')$.
ปล่อย $A \in \tau_X$จากนั้นเรามีสิ่งนั้นสำหรับชุดดัชนีบางชุด $I$, $A = \bigcup\limits_{i \in I} B_i$กับ $B_i \in \mathcal B_X$.
ดังนั้นเราจึงมี: $$f^{-1}(A) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$$
ให้คำจำกัดความ $S_{a \to b}^{c \to d} := \{(x,y) \in \mathbb R^2 : a < x < b \text{ and } c < y < d\}$. แล้วเรามีสิ่งนั้น$\mathcal B' = \{S_{a \to b}^{c \to d}: a,b,c,d \in \mathbb R\}$เพราะงั้น $(X,\tau_X)$ เป็นพื้นที่ย่อยของ $\mathbb R^2$ เรามีสิ่งนั้นสำหรับแต่ละคน $i$:
$$B_i = S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X $$
สำหรับบางคน $a_i, b_i, c_i, d_i$.
ดังนั้นเราจึงมี:
$$\bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X )$$
เรามีสิ่งนั้น $f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i}\cap X ) = (\alpha_i, \beta_i) \subset \mathbb R$, สำหรับบางคน $\alpha_i, \beta_i \in \mathbb R$:
ดังนั้นเราจึงมี: $$\bigcup_{i \in I} f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X ) = \bigcup_{i \in I}\ (\alpha_i,\beta_i)$$
เพราะแต่ละ $(\alpha_i,\beta_i) \in \tau$แล้ว $\bigcup\limits_{i \in I}\ (\alpha_i,\beta_i) \in \tau$เราจึงมีสิ่งนั้น $f$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง
ตอนนี้ให้ $A \in \tau$จากนั้นเรามีสำหรับชุดดัชนีบางชุด $J$, นั่น $A = \bigcup\limits_{j \in J} \ (\alpha_j , \beta_j)$ สำหรับ $(\alpha_j , \beta_j) \in \tau$.
$$f(A) = \bigcup_{j \in J} f((\alpha_j , \beta_j))$$
เพราะ $f^{-1}( S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X ) = (\alpha_j, \beta_j)$แล้วสำหรับทุกคน $(\alpha_j, \beta_j):$ $$f((\alpha_j, \beta_j)) = S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X$$
ดังนั้นเราจึงมี:
$$\bigcup_{j \in J} f((\alpha_j , \beta_j)) = \bigcup_{j \in J} (S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X)$$
เพราะ $(S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X) \in \mathcal B_X \subset \tau_X$แล้วเรามีสิ่งนั้น $\bigcup_{j \in J} (S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X) = f(A) \in \tau_X$เราจึงมีสิ่งนั้น $f^{-1}$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง
ดังนั้นจึงมีอยู่ $f: \mathbb R \to X$ ดังนั้น $f$ เป็นอคติต่อเนื่องและ $f^{-1}$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องนี้ $\mathbb R \cong X$
คำถามของฉันคือหลักฐานนี้ถูกต้องหรือไม่? ฉันจะปรับปรุงอะไรได้บ้าง มีวิธีพิสูจน์สิ่งนี้ที่ตรงไปตรงมามากกว่านี้หรือไม่?
คำตอบ
เพียงเท่านี้คำถามก็มีคำตอบแล้วเรามาสรุปความคิดเห็นกัน หลักฐานของคุณถูกต้องและในแง่กว้างมันง่ายอย่างที่ได้รับ อย่างไรก็ตามประเด็นหลักที่ทำให้การพิสูจน์ของคุณยาวนานขึ้นคือแม้ว่าคุณจะรู้อย่างนั้น$$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} B_i\right) = \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$$และคุณใช้ข้อเท็จจริงที่สำคัญนี้ในการพิสูจน์ของคุณคุณยังคงดำเนินการเกี่ยวกับองค์ประกอบพื้นฐานของสหภาพแรงงาน คุณสามารถพิสูจน์ได้เพียงครั้งเดียวว่าเพราะตัวตนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า$f^{-1}(B)$ เปิดสำหรับแต่ละองค์ประกอบพื้นฐาน $B$ (ตรงกันข้าม $f(B)$ เปิดอยู่สำหรับองค์ประกอบพื้นฐานในพื้นที่โดเมนด้วย)