ผลรวมของ $n$ กำลังสองแสดงเป็นผลรวมของ $n/2$ สี่เหลี่ยม?
คำตอบสำหรับกรณีพิเศษเมื่อสี่เหลี่ยมเป็น Pythagorean triple คือใช่ พีทาโกรัสสามเท่าเป็นกรณีที่ต่ำที่สุด$n$กล่าวคือ $2$. พีทาโกรัสสองสามเท่าสามารถรวมกันเป็นผลรวมได้$4$ สี่เหลี่ยมเช่นเดียวกับใน $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. การรวม (เพิ่ม) Pythagorean สามเท่าเราสามารถสร้างผลรวมของกำลังสองโดยพลการ$n$.
คำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีทั่วไปเมื่อคู่ของสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้องไม่ใช่สามเท่าของพีทาโกรัสหรือเมื่อทุกคู่ไม่ใช่พีทาโกรัส
คำตอบ
คำตอบคือใช่สำหรับ (คู่)$n \geq 8$และไม่มีสำหรับ (แม้)$n \leq 7$.
ถ้า $n \geq 8$ แล้วผลรวมของ $n$กำลังสองคือผลรวมของสี่กำลังสองตามทฤษฎีบทสี่กำลังสองของลากรองจ์ ตอนนี้ถ้า$n/2$ มีค่ามากกว่า 4 คุณสามารถเติมเต็มผลรวมของคุณได้โดยเพิ่มเงื่อนไขให้เพียงพอเท่ากับ $0^2$.
สำหรับ $4 \leq n \leq 7$ สังเกตว่า $7$ สามารถเขียนเป็นผลรวมของ $n$ กำลังสอง แต่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของ $n/2$ สี่เหลี่ยม
สำหรับ $2 \leq n \leq 3$ สังเกตว่า $5$ คือผลรวมของ $n$ กำลังสอง แต่ไม่ใช่ผลรวมของ $n/2$ สี่เหลี่ยม
จากทฤษฎีบทสี่กำลังสองของลากรองจ์เราพบว่าจำนวนธรรมชาติทุกตัวสามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสมบูรณ์ เพราะเราสามารถเพิ่ม$0^2$ โดยไม่ต้องเปลี่ยนผลรวมหมายความว่าจำนวนธรรมชาติทุกตัวสามารถเขียนเป็นผลรวมของ $n$ กำลังสองสำหรับใด ๆ $n\geq4$.
ปัญหาของคุณถามว่าได้รับหรือไม่ $M$ คือผลรวมของ $n$ กำลังสองสามารถเขียนเป็นผลรวมของ $\frac{n}{2}$สี่เหลี่ยม เช่นนี้ต้องการที่$n$ แม้เรามีสี่กรณี:
กรณีที่ 1: $n=2$
ในกรณีนี้ระบุว่า $M$ คือผลรวมของสองกำลังสองมันเป็นเพียงผลรวมของหนึ่งกำลังสองถ้าเรามีสามพีทาโกรัส
กรณีที่ 2: $n=4$
ในกรณีนี้, $M$อาจเป็นจำนวนธรรมชาติก็ได้ คำถามจะถามว่าจำนวนธรรมชาติทั่วไปสามารถเขียนเป็นผลรวมของ 2 กำลังสองได้หรือไม่ คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจาก Sum of Two Squares Theorem ซึ่งให้เครดิตกับออยเลอร์และบอกว่าจำนวนหนึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของสองกำลังสองก็ต่อเมื่อการแยกตัวประกอบเฉพาะของมันไม่มีไพรม์ที่สมกัน$-1\mod4$ ยกขึ้นเป็นพลังแปลก ๆ
กรณีที่ 3: $n=6$
ในกรณีนี้ M อาจเป็นจำนวนธรรมชาติเท่าใดก็ได้ คำถามจะถามว่าจำนวนธรรมชาติทั่วไปสามารถเขียนเป็นผลรวมของ 3 กำลังสองได้หรือไม่ จากทฤษฎีบทสามเหลี่ยมของ Legendre คำตอบก็คือจำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมดที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองได้ โดยเฉพาะตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดยกเว้นที่ปรากฏในhttps://oeis.org/A004215 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสามกำลังสอง
กรณีที่ 4: $n\geq8$
ในกรณีนี้จำนวนธรรมชาติทุกตัวสามารถเขียนเป็นผลรวมของ $\frac{n}{2}$ กำลังสองดังนั้นคำตอบคือใช่เล็กน้อย
สำหรับกรณีที่ 3 และ 4 เรามีทางเลือกเพียงพอในการเลือก $n$ สี่เหลี่ยมที่เราสามารถเลือกการแตกที่ไม่รวม Pythagorean Triples ใด ๆ
ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามถูกต้องหรือไม่เพราะถ้านี่คือสิ่งที่คุณหมายถึงจริงก็ไม่ใช่เรื่องยากเกินไปที่จะหาตัวอย่างตอบโต้
การตีความของฉัน: ได้รับชุด $n$ จำนวนเต็มบวก $\{ a_1, ..., a_n \}$เป็นไปได้ที่จะค้นหาคอลเล็กชันของไฟล์ $n/2$ จำนวนเต็มบวกพูด $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ ดังนั้น $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
หากนี่คือสิ่งที่คุณหมายถึงจริงอันดับแรกให้พิจารณา $n$เป็นจำนวนเต็มคี่และเราทำเสร็จแล้ว เพราะ$n/2$ ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งเห็นได้ชัดว่าคำสั่งนั้นเป็นเท็จ
ตอนนี้สมมติว่า $n$ได้รับอนุญาตให้เป็นเลขคู่เท่านั้น พิจารณาพูด$n = 2$ และ $a_i = 1$ สำหรับทั้ง $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$ไม่ใช่กำลังสองที่สมบูรณ์แบบดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างที่สวนทางกับคำสั่ง
พีทาโกรัสสองสามเท่าใด ๆ อาจแสดงเป็นผลรวมของสี่กำลังสองหรือผลรวมของสองกำลังสอง
ตัวอย่าง: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
หรือจากตัวอย่างที่ฉันแสดงในเวอร์ชันแรกของคำตอบนี้: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
ที่ไหน $8$ ผลรวมของกำลังสองแสดงเป็น $4$. ฉันยกตัวอย่างของ$4$ ค่าเท่ากัน แต่จำนวนเท่ากันของชุดค่าผสมใด ๆ $C$- ค่าสามารถลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น
อีกตัวอย่างคือที่นี่ $10$ ผลรวมกำลังสองเท่ากับ $5$ ผลรวม $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณหากไม่จำเป็นต้องใช้ช่องสี่เหลี่ยมก็มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สิ้นสุด: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ หรือ $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$