ผลรวมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม iid Poisson
สมมติ $X_i \stackrel{\text{iid}}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)$ และพิจารณา $Y_n \equiv \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \lambda}{i}$
ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่า $Y_n$ มาบรรจบกันเกือบแน่นอน แต่แตกต่างกันในค่าสัมบูรณ์เกือบจะแน่นอนกล่าวคือ $$(1) \quad Y_\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} (X_i - \lambda) \text{ exists a.s., but } (2) \quad A_\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} |X_i - \lambda| \text{ diverges a.s.} $$
$(1)$ จะเห็นได้ว่าเป็นผลพวงจากทฤษฎีบทสองชุดของคอลโมโกรอฟ $Z_i \equiv (X_i -\lambda)/i$ มี $E(Z_i) = 0$ และ $\text{Var}(Z_i) = \lambda/i^2$ เพื่อให้ทั้งสองอย่าง $\sum E(Z_i), \sum \text{Var}(Z_i)$ เป็นอนุกรมบรรจบกัน
ฉันไม่แน่ใจ 100% ว่าจะดำเนินการต่ออย่างไร $(2)$แต่บางทีอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ใช้งานได้:
ถ้า $\lambda \not \in \mathbb{N}$เรามีทันที $|X_i - \lambda| \ge \min \{\lceil{\lambda} \rceil - \lambda, \lambda - \lfloor{\lambda} \rfloor\} \equiv c > 0$ สำหรับทุกๆ $i$เกือบจะแน่นอน ด้วยประการฉะนี้$$A_\infty \ge c \sum_{i \ge 1} \frac{1}{i} = \infty$$
ตอนนี้ถ้า $\lambda \in \mathbb{N}$สิ่งต่างๆกลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้นในการพยายามทำสิ่งนี้อย่างเข้มงวดแม้ว่าปัญหาจะเหมือนกันโดยสัญชาตญาณก็ตาม บางทีเราอาจจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทสามชุดของ Kolmogorov? เรารู้ว่าถ้า$A_\infty$ มีอยู่เป็นขีด จำกัด เกือบแน่นอนแล้วสำหรับทุกๆ $t \in (0, \infty)$ เราต้องมี $$S(t) \equiv \sum_{i = 1}^\infty \frac{1}{i} E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq i t)) < \infty $$
เลือก $t = 2$ และเห็นได้ชัดว่าเรามี $\mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2) \leq \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2i)$ เช่น $2i \ge 2$. นอกจากนี้$$\forall i \in \mathbb{N}, \quad E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2))\ge 2P(X_i = \lambda +2) \equiv \delta > 0$$ ในที่สุดเราก็ได้รับ $$\infty = \delta \sum_{i \ge 1} \frac{1}{i} \leq \sum_{i \ge 1} E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2) \leq S(2)$$ดังนั้นเราจึงมีความขัดแย้งและเราสามารถสรุปได้ มันใช้ได้ไหม?
คำตอบ
นี่เป็นวิธีง่ายๆในการทำส่วน (2)
ปล่อย $\xi_i:= |X_i-\lambda|$. แล้ว$\sum_{i=1}^{\infty} \frac1i (\xi_i-\Bbb E[\xi_i])$มาบรรจบกันด้วยเหตุผลเดียวกับในส่วนที่ (1) โปรดทราบว่า$\sum_1^n \frac1i \Bbb E[\xi_i] \sim \Bbb E[\xi_1]\log n$.
ดังนั้นสำหรับเกือบทุก $\omega$ เราเห็นว่า $\big(\sum_{i=1}^n \frac1i \xi_i(\omega)\big) - \Bbb E[\xi_1]\log n$ เป็นลำดับคอนเวอร์เจนท์ (จึงมีขอบเขต) ซึ่งหมายความว่า $\sum_1^n \frac1i \xi_i(\omega)$ แตกต่างกันในชุดเดียวกันของ $\omega$.