พลังงานพิเศษในระบบสปริงมวลคู่
ด้านล่างนี้เป็นระบบสปริงมวลคู่ที่วางบนพื้นผิวเรียบ (ไม่มีแรงเสียดทาน) ให้เราถือว่าค่าคงที่ของสปริงเป็น $k$ ในกรณีนี้.
ตอนนี้ถ้าเราสร้างส่วนขยายขนาดเล็กในฤดูใบไม้ผลิของมูลค่า $x_o$มวลทั้งสองจะทำการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (SHM) ทีละแอมพลิจูด $A_1$ และ $A_2$ ตามลำดับเช่นนั้น $A_1$ + $A_2$ = $x_o$. ตอนนี้พลังงานทั้งหมดของระบบดังกล่าวได้รับจาก$\frac{1}{2}kx_o^2$ และพลังงานของการสั่นของแต่ละคนจะเป็น $\frac{1}{2}kA_1^2$ และ $\frac{1}{2}kA_2^2$. แต่$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. พลังงานพิเศษนี้ถูกนำไปใช้เพื่ออะไร? เห็นได้ชัดว่ามันไม่ได้ถูกใช้สำหรับ SHM เนื่องจากไม่ได้อยู่ภายใต้พลังงานของการสั่นของมวลชน เลยบอกไม่ถูกว่าใช้ทำอะไร!
ฉันมีคำถามอื่นเช่นกัน พลังงานจลน์สูงสุดของแต่ละบุคคลมีความสัมพันธ์ดังนี้:$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, ที่ไหน $v_1$ และ $v_2$คือความเร็วสูงสุดของมวลแต่ละมวล แต่พลังงานจลน์สูงสุดของร่างกายที่ทำ SHM ควรเท่ากับพลังงานศักย์สูงสุด! ดังนั้น$\frac{1}{2}kA_1^2$ ควรจะเท่ากับ $\frac{1}{2}mv_1^2$ และในทำนองเดียวกัน $\frac{1}{2}kA_2^2$ ควรจะเท่ากับ $\frac{1}{2}Mv_2^2$. แต่นี่จะสวนทางกับสมการของเราที่$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! ดังนั้นฉันจึงค่อนข้างสับสนว่าเกิดอะไรขึ้นที่นี่!
ใครช่วยอธิบายให้ฉันฟังหน่อย
คำตอบ
คุณต้องวิเคราะห์มวลทั้งสองร่วมกันเป็นระบบ SHM เดียว - คุณไม่สามารถแยกออกเป็นสององค์ประกอบ SHM อิสระได้
สมมติว่าเราเริ่มต้นด้วยสปริงที่ความยาวตามธรรมชาติและเคลื่อนย้ายมวล $m$ ไปทางซ้ายโดยระยะทาง $x_1$ และมวล $M$ ไปทางขวาโดยระยะทาง $x_2$. ขณะนี้แรงที่สปริงกระทำต่อมวลทั้งสองอยู่ในขณะนี้$k(x_1+x_2)$. ดังนั้นถ้าเราย้ายมวล$m$ จาก $x_1=0$ ถึง $x_1=A_1$ และเราเคลื่อนย้ายมวล $M$ จาก $x_2=0$ ถึง $x_2=A_2$ พลังงานทั้งหมดที่เก็บไว้ในฤดูใบไม้ผลิคือ
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
ที่ไหน $y=x_1+x_2$และ
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
ดังนั้นจึงไม่มี "พลังงานพิเศษ"
เมื่อเราปลดปล่อยมวลสมการการเคลื่อนที่ของมวล $m$ คือ
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
และสำหรับมวล $M$ มันคือ
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
เราได้เพิ่มสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกัน
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
ที่ไหน $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$และ $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$. ดังนั้น
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
ในทำนองเดียวกัน
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
เมื่อสปริงกลับคืนสู่ความยาวตามธรรมชาติ $y=0$ และ $\cos \sqrt{k'}t = 0$ ดังนั้น $\sin \sqrt{k'}t = 1$. ดังนั้นพลังงานจลน์ของระบบคือ
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
กล่าวอีกนัยหนึ่งพลังงานศักย์ทั้งหมดที่เก็บไว้ในสปริงจะถูกเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ตามที่คาดไว้
ปล่อย $x$ เป็นขนาดของการกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งสมดุลของมวล $m$ และ $X$ เป็นขนาดของการกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งสมดุลของมวล $M$.
การอนุรักษ์โมเมนตัมสำหรับระบบต้องการ $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.
สำหรับระบบนี้ความถี่ธรรมชาติของการสั่นจะได้รับจาก $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.
พลังงานจลน์สูงสุดของระบบคือ $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.
ใส่ค่าของ $\omega^2$ และการคูณออกจะให้พลังงานจลน์เป็น
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.
เป็นไปได้ที่จะทำการวิเคราะห์ทั่วไปมากขึ้นเพื่อแสดงว่าพลังงานทั้งหมดของระบบคงที่