โพลีน้อยที่สุดของ $\sqrt[3]{2}$ เกิน $\Bbb{Q}$ เท่ากับ $\det(T_a - xI)$ ที่ไหน $T_a$ เป็นเมทริกซ์มากกว่า $\Bbb{Q}$ที่แสดงถึง mult. โดย $a$.

Question

ปล่อย $K/F$ เป็นสนามขยายปริญญา $n \in \Bbb{N}$ และสำหรับแต่ละคน $a \in K$ กำหนด $L_a(x) = a x$. แล้ว$L_a(x)$ เป็น $F$- การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของ $K$ เป็นพื้นที่เวกเตอร์ของมิติ $n$. ส่งเลย$K$ เป็น $F^{n \times n}$ เมทริกซ์ริงโดยการส่ง $a$ ถึง $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ ที่เรามีนามธรรม $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ สำหรับบางคน $\theta_i$ พื้นฐานใน $K$.

แล้วสำหรับ $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ พหุนามลักษณะเรามีสิ่งนั้น $f(a) = 0$ นั่นคือ $a$ เป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะซึ่งเป็น monic of degree $n$ พหุนามลักษณะก็เช่นกันในความเป็นจริง $m_{a, F}(x)$ พหุนามขั้นต่ำสำหรับ $a$ เกิน $F$.

ฉันพยายามพิสูจน์สิ่งนี้ในกรณีทั่วไปเช่นนั้น $f(a) = 0$ หรือเทียบเท่าว่า $T_a(y) = ay$ เพื่อทุกสิ่ง $y \in F^n$.

สิ่งที่ฉันมีจนถึงตอนนี้คือ:

$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$

ฉันมาถึงจุดนั้นแล้ว จากนั้นโจทย์บอกว่าให้ทดสอบแนวคิดนี้เพื่อหาค่าระดับปริญญา$3$ พอใจโดย $a = \sqrt[3]{2}$.

ดังนั้นฉันต้องการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ:

$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$

ที่ฉันกลับป้ายเพื่อความเรียบง่าย ฉันคำนวณข้างต้นด้วยการคูณ$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ และ $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ โดย $a$ และลบออกจาก $x$.

ฉันได้รับ:

$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$

ซึ่งไม่ใช่พหุนามมากกว่า $F$. คำที่ไม่ดีที่ฉันได้รับจากการทำ$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ ในทางตรรกะและสมมาตร

ฉันผิดพลาดตรงไหนในการคำนวณของฉัน?

Answer 1

ฉันคิดว่าคุณคำนวณแล้ว $T_a$ไม่ถูกต้อง ฉันคิดว่าคุณกำลังใช้เกณฑ์การสั่งซื้อ$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ สำหรับ $K$ เช่น $\mathbb Q$-vector space ( แก้ไข:ฉันเห็นว่าคุณเป็น) ดังนั้นการสมัคร$L_a$ กับเวกเตอร์พื้นฐานแรกให้ $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$. ในแง่ของเวกเตอร์พิกัดเทียบกับพื้นฐานลำดับนี้นี่คือ$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ ดังนั้นนี่ควรเป็นคอลัมน์แรกของ $T_a$. ฉันจะปล่อยให้คุณตรวจสอบคอลัมน์อื่น ๆ

สุดท้ายหมายเหตุเล็ก ๆ : ควรจะเป็น $\det(xI-T_a)$ สำหรับพหุนามขั้นต่ำเป็น monic