พื้นที่แรเงาในเกลียวอาร์คิมิดีส โปรดตรวจสอบความถูกต้อง

Question

ฉันพยายามหาพื้นที่แรเงาและนี่คือวิธีที่ฉันทำ

$$\frac12\int_{2\pi}^{3\pi} \theta^2 \, d\theta = \frac 1 2 \left[{\frac{\theta^3}3}\right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac12\left(\frac{27\pi^3}{3}-\frac{8\pi^3}{3}\right)$$

$$My\,Calculation\; \frac{19\pi^3}{6} $$

$$Expected\,Answer\;3\pi^3$$

คำตอบที่คาดไว้ผิดหรือไม่? หรือฉันทำอะไรผิด?

Answer 1

อินทิกรัลนั้นให้พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยส่วนนั้น แต่ไม่สนใจพื้นที่ที่ตัดออกไปโดยส่วนก่อนหน้าของเส้นโค้งโดยเฉพาะที่บน $[0, \pi]$. การคำนวณและการลบที่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ