โปรแบบไม่ต่อเนื่อง การกระจาย: ทวินาม
เราทราบดีว่าสำหรับการแจกแจงแบบทวินามเมื่อเราต้องการทราบว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นเป็นจำนวนเท่าใดแทนที่จะใช้แผนภาพต้นไม้เราสามารถใช้การเลือกหรือการรวมกันได้ ตัวอย่างเช่นให้ตัวแปรสุ่ม X แทนจำนวนหัวหลังจากโยนเหรียญสามครั้งและเราต้องการทราบผล หัวออกมาครั้งเดียว
เราจะบอกว่า Pr (X = 1) = 3C1 คูณ ... prob ครั้งแห่งความสำเร็จพร็อบ ของความล้มเหลว
เพราะเรารู้ว่ามีสามวิธีที่เราสามารถเลือกหัวเดียวได้ จากแผนผังต้นไม้: HNN, NNH, NHN H = หัว, N = ไม่มีหัว
คำถามของฉันคือเหตุใดจึงถูกต้องที่จะใช้ชุดค่าผสมเมื่อมีความชัดเจนว่าเราไม่ใช้ชุดค่าผสมสำหรับสิ่งต่างๆ ที่นี่เราจะเห็นได้ว่าเนื่องจาก HNN, NNH, NHN เหล่านี้ล้วนเป็นสิ่งที่แตกต่างกันซึ่งมีองค์ประกอบของหัวเดียวและสองหัวจึงชัดเจนว่าคำสั่งนั้นมีความสำคัญ ทำไมเราใช้การเรียงสับเปลี่ยนแทนไม่ได้?
คำตอบ
การเรียงลำดับนับการจัดเรียงของวัตถุที่แตกต่างกัน องค์ประกอบของลำดับของหัวและหางไม่สามารถแตกต่างกันได้หากลำดับมีความยาวมากกว่าสอง
ตัวอย่างเช่นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษรของคำ COUNT ซึ่งมีตัวอักษรที่แตกต่างกันห้าตัวคือ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ และจำนวนการเรียงลำดับตัวอักษรสามตัวของตัวอักษรของคำ COUNT คือ $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
ในทางกลับกันจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แยกแยะได้ของตัวอักษรของคำว่า DISTRIBUTION ซึ่งไม่ใช่ตัวอักษรทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$เนื่องจากเราต้องเลือกสามจากสิบสองตำแหน่งสำหรับ Is สองในเจ็ดตำแหน่งที่เหลือสำหรับ Ts จากนั้นจัดเรียงตัวอักษร D, S, R, B, U, O, N ที่แตกต่างกันเจ็ดตำแหน่งในเจ็ดตำแหน่งที่เหลือ ปัจจัยของ$3!$ในตัวส่วนหมายถึงจำนวนวิธีที่เราสามารถอนุญาตให้ Is กันเองภายในการจัดเรียงที่กำหนดโดยไม่ต้องจัดเตรียมซึ่งแตกต่างจากการจัดเรียงที่กำหนด ปัจจัยของ$2!$ ในตัวส่วนหมายถึงจำนวนวิธีที่เราสามารถอนุญาต Ts ระหว่างกันภายในการจัดเรียงที่กำหนดโดยไม่ต้องจัดเรียงซึ่งแตกต่างจากการจัดเรียงที่กำหนด
ในตัวอย่างของคุณเราใช้ชุดค่าผสมเนื่องจากลำดับของหัวและหางถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการเลือกตำแหน่งของหัวเนื่องจากตำแหน่งที่เหลือของลำดับจะต้องเติมด้วยหาง
โดยทั่วไปในปัญหาการแจกแจงแบบทวินามเรากำหนดผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งว่าเป็นความสำเร็จและผลลัพธ์อื่น ๆ คือความล้มเหลว ความน่าจะเป็นที่จะได้รับอย่างแน่นอน$k$ ประสบความสำเร็จใน $n$ การทดลองแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น $p$ แห่งความสำเร็จคือ $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ ที่ไหน $p^k$ คือความน่าจะเป็นของ $k$ ความสำเร็จ $(1 - p)^{n - k}$ คือความน่าจะเป็นของ $n - k$ ความล้มเหลวและ $\binom{n}{k}$ นับจำนวนวิธีเหล่านั้น $k$ ความสำเร็จสามารถเกิดขึ้นได้ $n$การทดลอง สังเกตว่าการเลือกที่$k$ ของ $n$ การทดลองคือความสำเร็จจะกำหนดผลลัพธ์ได้อย่างสมบูรณ์หากมีอย่างแน่นอน $k$ ความสำเร็จนับตั้งแต่ที่เหลือ $n - k$ การทดลองจะต้องประสบความล้มเหลว