Positivity ของตัวดำเนินการ
พิจารณาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ของชั้นเรียน $C^1$. ถ้า$f(0)=0$ และ $f'(0)>0$ ชัดเจนว่ามีอยู่บ้าง $t_0>0$ ดังนั้น $f(t_0)>0$.
ตอนนี้ถ้า $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ ของชั้นเรียน $C^1$, ที่ไหน $\mathcal{M}^{n\times n}$ เป็นเรื่องจริง $n\times n$ เมทริกซ์ถ้า $f(0)=0$ และถ้า $f'(0)$ เป็นเมทริกซ์ที่กำหนดค่าบวกอย่างเคร่งครัดอีกครั้งจะมี $t_0$ ดังนั้น $f(t_0)$ เป็นเมทริกซ์ที่กำหนดค่าบวกอย่างเคร่งครัด
คำถามคือมันเป็นความจริงสำหรับผู้ปฏิบัติงานหรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ ของชั้นเรียน $C^1$, ที่ไหน $\mathcal{O}$ คือชุดของตัวดำเนินการปรับขนาดกะทัดรัดในพื้นที่บางส่วนของ Hilbert ที่แยกออกจากกันได้ $\mathcal{H}$. ปล่อย$f(0)=0$ และสมมติว่า $f'(0)$ เป็นตัวดำเนินการปรับตัวเองในเชิงบวกขนาดกะทัดรัดจริงหรือไม่ที่จะต้องมี $t_0$ ดังนั้น $f(t_0)$ เป็นบวก?
คำตอบ
ไม่ตอบโต้ตัวอย่าง: ให้ $H = \ell^2$ และ $M : H \to H$ มอบให้โดย
$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$
แล้ว $M$มีขนาดกะทัดรัด (ขีด จำกัด ของตัวดำเนินการอันดับ จำกัด ) ปรับตัวเองและบวก ถัดไปให้$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ เป็นฟังก์ชันแปลก ๆ ที่ราบรื่นดังนั้น
- $\varphi(t) = t$ บน $[-1,1]$,
- $|\varphi (t)|\le 1.1$
- $\varphi$ กำลังลดลง $[1.1, 2]$ และ
- $ \varphi(t) = 0$ บน $[2, \infty)$.
แต่ละ $n$, กำหนด $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. กำหนด$ M_t:=f(t)$ โดย $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$
แล้ว $M_0 = 0$ และแต่ละ $M_t$เป็นตัวปรับเองอันดับ จำกัด (จึงไม่ใช่เชิงบวก) นอกจากนี้$f$ คือ $C^1$. แน่นอนเราสามารถตรวจสอบได้$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ ตั้งแต่ $\varphi_n'(0)=1$ เพื่อทุกสิ่ง $n$, เรามี $f'(0) = M$.