ประเมินขีด จำกัด $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

คุณประเมินขีด จำกัด ลำดับนี้โดยใช้ทฤษฎีบทบีบ / แซนวิชได้อย่างไร? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

ไม่รู้จะเริ่มจากตรงไหนจริงๆ ฉันได้ลองใช้ความจริงที่ว่า$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง) แต่ฉันไม่รู้ว่าจะไปจากที่นั่น

ขอบคุณ!

Answer 1

เรามีสิ่งนั้น

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

แล้วสรุปโดยการบีบทฤษฎีบท

Answer 2

คุณสามารถใช้ได้ $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

ด้วยลอการิทึม: เขียนนิพจน์ใหม่เป็น $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ เทอมแรกคือ $3$. ประการที่สองมีขอบเขตที่ง่าย:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ และดังนั้นจึง, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

วิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยคือการใช้ $3^n$ ออกจาก $(3^n+1)^{1/n}$, นั่นคือ $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ ตอนนี้ทราบว่า $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ สำหรับทุกๆ $n\in \mathbb N $ดังนั้นการ จำกัด อสมการที่เรามาถึง $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ และอื่น ๆ $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

พิจารณา $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ ตอนนี้มีผลกับลอการิทึมทั้งสองด้าน:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ เห็นได้ชัดว่าถ้า $n$ ไปที่อินฟินิตี้เราสามารถละ 1 ในลอการิทึมจากนั้นเราจะได้รับ: $\ln{y} = \ln 3$ เมื่อไหร่ $n$ไปที่อินฟินิตี้ ดังนั้นคำตอบคือ:$$y = 3$$

Answer 6

ที่ไหน $n$ มีขนาดใหญ่เพียงพอ $3^n$ ยิ่งใหญ่กว่านั้นมาก $1$ซึ่งสามารถละเลยได้ (เราสังเกตได้ว่า $100000000000000000000$ และ $100000000000000000001$ "เกือบ" เหมือนกัน)

ดังนั้น $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ โดยข้อเท็จจริงที่ว่า $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ อย่างรวดเร็วและส่วนที่เหลือสามารถทำได้อย่างง่ายดาย

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$