ปริมาณของฟลักซ์ใน 3D Compact QED ของ Polyakov
ในหนังสือ "Gauge Fields and Strings" ของเขา Polyakov แนะนำ QED ขนาดกะทัดรัดบนตาข่ายลูกบาศก์ในอวกาศแบบยุคลิด 3 มิติดังนี้ $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
ที่ไหน $F$ คือฟลักซ์สุทธิผ่าน plaquette ซึ่งทอดโดยเวกเตอร์แลตติซ $\mathbf{\alpha}$ และ $\beta$ ตรงจุด $\mathbf{r}$ และมอบให้โดย: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ ซึ่งโดยสัญชาตญาณคือการโค้งงอของ $A$รอบ ๆ plaquette การแปลงมาตรวัดถูกกำหนดให้เป็น:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$ภายใต้การดำเนินการที่ไม่แน่นอน ผลลัพธ์ที่ชัดเจนอย่างหนึ่งคือฟลักซ์ทั้งหมดผ่านพื้นผิวเกาส์เซียนที่ปิดเป็นศูนย์ นี่เป็นเรื่องจริงเพราะ:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$เนื่องจากเขตข้อมูลมาตรวัดในแต่ละลิงก์ปรากฏขึ้นสองครั้งโดยมีเครื่องหมายต่างกันในผลรวมข้างต้น ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีโมโนโพลในระบบนี้ยกเว้นโมโนโพล Dirac ซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้โดยสมมติว่าฟลักซ์ผ่าน 5 ใบหน้าของลูกบาศก์มีเครื่องหมายเดียวกันในขณะที่ใบหน้าหนึ่งมีฟลักซ์สุทธิที่มีเครื่องหมายลบซึ่งทำให้ฟลักซ์ทั้งหมดยังคงเป็นศูนย์ .
แต่แล้วเขา (Polyakov) ระบุว่าฟลักซ์นี้ (ซึ่งไหลผ่านใบหน้าของลูกบาศก์เท่านั้น) เป็นปริมาณ ไม่รู้จะพิสูจน์ยังไงดี ดูเหมือนว่าการแปลงมาตรวัดเอกพจน์เป็นสิ่งที่จำเป็น (อ้างอิงจากกระดาษโดย 't Hooft) และเราจำเป็นต้องจับคู่ฟิลด์มาตรวัดกับฟิลด์อื่น (อาจเป็นเรื่องสำคัญ) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีที่จะนำการเปลี่ยนแปลงนั้นไปใช้ในแบบจำลองแลตทิซและ อาจมีคนถามว่าทำไมเราควรคู่กัน$A$เป็นอิสระอีกระดับ ประเด็นนี้ยังกล่าวถึงที่นี่:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 อีกครั้งโดยไม่มีข้อพิสูจน์ใด ๆ
หนังสือเล่มนี้ใช้การกระทำอื่นที่อ้างว่าเทียบเท่ากับการกระทำดั้งเดิมซึ่งมอบให้โดย: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ ที่ไหน $n$เป็นฟิลด์มูลค่าจำนวนเต็ม การกระทำนี้โดยทั่วไปไม่เทียบเท่ากับการกระทำดั้งเดิม เนื่องจากที่นี่เราอนุญาตให้มีการเบี่ยงเบนจากการไม่เป็นระยะของ$A$ เพื่อมีส่วนร่วมดังนั้นเราจึงสามารถใช้มันได้ในช่วงเล็ก ๆ เท่านั้น $g$ ขีด จำกัด
คำตอบ
เกี่ยวกับคำถามนั้นควรตามมาจากทฤษฎีบทของสโตกส์แบบไม่ต่อเนื่อง พิจารณาลูกบาศก์ในกรณีของฟลักซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์เจาะลูกบาศก์หนึ่งไม่สามารถกำหนดศักยภาพของมาตรวัดได้ทั่วโลก$A_\mu$เฉพาะในบางแผนภูมิเท่านั้น ให้เราแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นสองแผนภูมิโดยทับซ้อนกันอย่างน้อยบนเส้นศูนย์สูตร
ซีกโลกเหนือและใต้ ตามทฤษฎีบทของสโตกส์ผ่านพื้นผิวสีแดงซีดเท่ากับการไหลเวียนของ$A_\mu$ รอบเส้นศูนย์สูตร: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ ที่ไหน $s$ - หมายถึงพื้นผิวทั้งหมดในแผนภูมิและ $l$ - ส่วนของเส้นบนเส้นศูนย์สูตรและ $S_i$ - พื้นที่ผิว $l_i$- ความยาวของส่วน ในอินทิกรัลเหนือเส้นศูนย์สูตรหนึ่งอาจเลือกในทฤษฎีบทของสโตกส์เพื่อรวมเข้าด้วยกัน$U_N$ และ $U_S$และผลลัพธ์จากมุมมองทางกายภาพไม่ควรขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นผิว
ส่วนแม่เหล็กไฟฟ้าของการกระทำของอนุภาคจุดคือ: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ การดำเนินการสำหรับอนุภาคจุดเข้าสู่เส้นทางอินทิกรัลเป็น $e^{i S}$ ดังนั้นเพื่อให้ $e^{i S}$ เพื่อให้เป็นค่าเดียวฟลักซ์ที่อยู่เหนือซีกโลกเหนือและซีกโลกใต้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
ตรรกะนี้ขาดความเข้มงวด แต่อาจให้สัญชาตญาณบางอย่าง อีกประเด็นหนึ่งซึ่งเราสามารถสังเกตได้ว่าโมโนโพลเป็นโซลูชันแบบคลาสสิก - ขั้นต่ำของการทำงานของแอ็คชั่นและจากการกระทำเราสามารถเห็นได้ว่า:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ ดังนั้นผลรวมของใบหน้าทั้งหมดจะถูกหาปริมาณ
การดำเนินการที่คุณเขียนไว้ในตอนท้ายของโพสต์เป็นการประมาณแบบวายร้ายหรือเกาส์เซียนของการกระทำดั้งเดิมซึ่งถือว่าความผันผวนของเขตข้อมูลมาตรวัดนั้นใกล้เคียงกับ minima$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$และได้มาจากการขยายตัวของโคไซน์ไปยังลำดับที่สอง: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$