ระบบทวีคูณของวงแหวนและหมวดหมู่
ถ้าAเป็นหมวดหมู่ใด ๆ จะเป็นคลาสของ morphisms$S$ในAกล่าวว่าเป็นระบบทวีคูณไม่ว่าจะเป็น$(a)$ มันปิดตามองค์ประกอบนั่นคือ: $id_X$ อยู่ใน $S$ สำหรับทุกๆ $X$ในAและเมื่อใดก็ตาม$f$ และ $g$เป็นสัณฐานในAดังนั้นองค์ประกอบ$gf$ ก็สมเหตุสมผลแล้ว $gf$ อยู่ใน $S$; $(b)$ แผนภาพใด ๆ ของแบบฟอร์ม $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ ด้วย $s$ ใน $S$ สามารถดำเนินการเป็น $\require{AMScd}$ \ start {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD}ด้วย$t$ ใน $S$. เช่นเดียวกันกับลูกศรทั้งหมดที่กลับด้าน ในที่สุด$(c)$ สำหรับ morphisms คู่หนึ่ง $f,g:X\to Y$ มีอยู่ $s$ ใน $S$ ด้วย $sf=sg$ ถ้ามีเท่านั้น $t$ ใน $S$ ด้วย $ft=gt$.
คำถามของฉันคือคำจำกัดความนี้ตรงกับแนวคิดของเซตปิดแบบทวีคูณสำหรับวงแหวนใด ๆ หรือไม่$R$ ถ้าเราดู $R$เป็นAb -category ที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียว? สภาพแน่นอน$(a)$ ให้สิ่งที่เราต้องการสำหรับเซตปิดแบบทวีคูณ (นั่นคือเซตย่อย $S\subseteq R$ ดังนั้น $1\in S$ และ $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), และถ้า $R$ เป็นสับเปลี่ยน $(b)$ และ $(c)$ เห็นได้ชัด แต่ในกรณีของวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนฉันไม่พบข้อพิสูจน์ของเงื่อนไขเหล่านี้
ใครช่วยให้หลักฐานหรือตัวอย่างการตอบโต้ หากตัวอย่างตอบโต้คือคำตอบมีเหตุผลที่ลึกซึ้งว่าทำไมจึงเกิดขึ้นได้เฉพาะในกรณีการสับเปลี่ยนหรือเป็นแนวคิดของระบบทวีคูณที่ออกแบบมาเพื่อสรุปกรณีเหล่านี้เท่านั้น
คำตอบ
ใช่มันเกิดขึ้นพร้อมกัน แต่ค่อนข้างเล็กน้อย (ในกรณีสับเปลี่ยน)
ดูวงแหวน (ไม่รวมสับเปลี่ยน) ของคุณ $R$เป็นหมวดหมู่ดังนี้ $R$- การทำงานของโมดูล $R$ ในตัวเองทำให้เกิด morphism $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาหมวดหมู่ด้วยวัตถุเดียว (ได้แก่ $R$) และชุดของ morphisms คือ $\iota(R)$. ความจริงที่ว่านี้เป็นไฟล์$\mathbf{Ab}$- หมวดหมู่เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์ของแหวน คุณต้องให้วงแหวนเป็นหนึ่งเดียวเพื่อให้มอร์ฟิซึ่มของอัตลักษณ์มีอยู่และการสับเปลี่ยนทำให้คุณมีสัจพจน์อื่น ๆ ตัวอย่างเช่นหากคุณได้รับ$\require{AMScd}$ \ start {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD}โดยพื้นฐานแล้วคุณจะได้รับสององค์ประกอบของวงแหวนดั้งเดิม$R$. แผนภาพสามารถทำได้อย่างง่ายดายโดยสมมติว่า$R$ เป็นสับเปลี่ยนตั้งแต่ $sf = fs$ นำไปสู่แผนภาพการสับเปลี่ยน $\require{AMScd}$ \ start {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD}คำชี้แจง (c) ได้รับการพิสูจน์เช่นเดียวกันโดยการ$t=s$. ฉันไม่รู้เกี่ยวกับการแปลวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนที่ส่วนย่อย$S$ โดยทั่วไป แต่ฉันจะพนันได้เลยว่าถ้าความคิดเหล่านี้สมเหตุสมผล $S^{-1}R$ จะมีขึ้นเมื่อ $R$ไม่ใช่การสับเปลี่ยนในกรณีเฉพาะที่ความจริงเชิงหมวดหมู่เหล่านั้นพอใจ แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป ฉันอ่านสิ่งนี้เพื่อทราบข้อมูลเล็กน้อยเกี่ยวกับการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นแบบไม่สับเปลี่ยนและมันไม่ได้สร้างแรงบันดาลใจเท่าการสับเปลี่ยน
หวังว่าจะช่วย