ระดับการขยายสนามโดยองค์ประกอบยอดเยี่ยม

Question

ปล่อย $F$ เป็นทุ่งนาและปล่อยให้ $F(x)$ เป็นฟิลด์เศษส่วนของวงแหวนพหุนาม $F[x]$. ฉันสนใจในระดับของการขยายสนาม$[F(x) : F]$. เห็นได้ชัดว่ามันไม่มีที่สิ้นสุด แต่ความสำคัญของมันคืออะไร? ใช่ไหม$\aleph_0$เหรอ? ขึ้นอยู่กับเขตข้อมูล$F$เหรอ?

Answer 1

ที่เป็นธรรมชาติ $F$-พื้นฐานของ $F(x)$ คือ $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ ดังนั้น (สำหรับ $F$ ไม่มีที่สิ้นสุด) จำนวนเต็มของฐานประกอบด้วยระหว่างของ $F$ และ $F[x]^2$เช่น. มันเหมือนกับ$F$.

Answer 2

สำหรับฟิลด์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดใด ๆ $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ มีความสำคัญเท่ากับ $F$และมีการทำแผนที่ที่คาดเดาได้ $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ ให้โดย $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (ที่ไหน $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). ตั้งแต่$F[x] \times (F[x])^*$ มีความสำคัญเท่ากับ $F[x]$ผลลัพธ์เป็นดังนี้

ถ้า $F$ จำกัด $F[x]$ นับว่าไม่มีที่สิ้นสุดและด้วยตรรกะเดียวกันกับข้างต้น $F(x)$ นับไม่ถ้วนเช่นกัน