เราจะแสดงอย่างไร ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ ไม่บรรจบกันอย่างแน่นอน?

Question

นี่มาจากการวิเคราะห์เชิงซ้อนโดย Shakarchi และ Stein ในบทของฟังก์ชัน Elliptic

เราจะแสดงอย่างไร ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ ไม่บรรจบกันอย่างแน่นอนโดยที่ $\wedge$ตาข่ายคู่ในระนาบเชิงซ้อนคืออะไร? ดูเหมือนเป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะแสดงการลู่เข้าสัมบูรณ์ของผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่ซับซ้อน บางทีฉันอาจพยายามผูกมัดซีรีส์นี้และใช้ข้อเท็จจริงจากซีรีส์จริง แต่ฉันไม่รู้วิธี

Answer 1

โดยการหมุนเราสามารถสมมติว่าตาข่ายคือ $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ และ wlog เราสามารถสรุปได้ $a \ge 0$ อย่างที่เราใช้ $n <0$ ในสิ่งต่อไปนี้.

แก้ไข $z=x+iy$ดังนั้น $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

แล้วถ้า $Nb>|y|$, เราได้รับ $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

และในทำนองเดียวกัน $M>0, M+Na >|x|$ หมายถึง $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

ซึ่งหมายความว่า $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

แต่ตอนนี้สรุปเฉพาะคำเหล่านั้นและเรียกผลรวมนั้น $S$ เราได้รับสิ่งนั้น:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

การใช้ชุดจำนวนบวกสองชุดสามารถแลกเปลี่ยนกันได้ตามต้องการ (โดยให้ผลลัพธ์เดียวกันไม่ว่าจะ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) เราจะได้รับทันที (เนื่องจาก summand ลดลงใน $m$) ที่คงที่ $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

ที่ไหน $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ เช่น $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ และอาร์กแทนเจนต์ก็เพิ่มขึ้น

แต่นี่แสดงให้เห็นว่า $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ ดังนั้นอนุกรมคู่ของค่าสัมบูรณ์บนส่วนย่อยของแลตทิซจึงไม่มีที่สิ้นสุดและเราทำเสร็จแล้ว!