ริบบอนในตัวและไอโซโทปปกติ

Aug 18 2020

ฉันกำลังอ่านบทความในปี 1990 ของ Kauffman เรื่อง "An Invariant of Regular Isotopy" เกี่ยวกับนอตที่มีไอโซโทปผ่านการเคลื่อนที่ของ Reidemeister Type II และ III เท่านั้นซึ่งเรียกว่าไอโซโทปปกติ กระดาษของเขาอ้างว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างไอโซโทปปกติและแถบฝังตัว ($S^1 \times [0,1]$) ใน $S^3$. เขาอ้างถึงตำรา Burde's Knots แต่ฉันไม่พบการกล่าวถึงไอโซโทปปกติเพราะดูเหมือนว่า Kauffman จะบัญญัติวลีนั้นไว้ในกระดาษหลังจากที่เขียนข้อความของ Burde

ฉันคิดว่าไอโซโทปของนอตปกติสอดคล้องกับแถบฝังตัว อย่างไรก็ตามฉันกังวลว่าอาจมีพยาธิสภาพที่ฉันมองข้ามไป ใครมีคำแถลงที่แม่นยำเกี่ยวกับความสัมพันธ์หรือไม่?

คำตอบ

2 CalvinMcPhail-Snyder Aug 19 2020 at 19:51

จากแผนภาพปมใดก็ได้เราสามารถหาปมกรอบได้โดยใช้ "กรอบกระดานดำ" จุดของไอโซโทปปกติของแผนภาพปมคือการรักษากรอบกระดานดำนี้ เนื่องจากนอตในกรอบและแถบฝังเป็นสิ่งเดียวกันไอโซโทปปกติจะยังคงรักษาแถบฝังที่สอดคล้องกับกรอบกระดานดำของแผนภาพปม

ฉันคิดว่าสิ่งนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมใน Burde อาจเป็นในแง่ของการผูกปม นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่า Burde ไม่ได้พูดถึงปมกรอบเลยเนื่องจากฉันคิดว่าผู้คนเริ่มสนใจพวกเขามากขึ้นหลังจากการค้นพบพหุนามของโจนส์ / Chern-Simons TQFT และฉันเห็นด้วย: ฉันคิดว่าคอฟแมนเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "ไอโซโทปปกติ" ดังนั้นจึงอาจไม่ได้ใช้ในเบิร์ด

5 AndyPutman Aug 20 2020 at 00:36

นี่เป็นความคิดเห็นมากกว่าคำตอบ แต่ฉันหวังว่ามันจะเป็นประโยชน์ มีความคิดที่มากเก่าและดีกว่าการศึกษาคือฮอมอโทปกติ ปล่อย$X$ และ $Y$ เป็นท่อที่เรียบและปล่อยให้ $f,g\colon X \rightarrow Y$ดื่มด่ำ แล้ว$f$ และ $g$ เป็นประจำหากมีการไหลเวียนของอากาศจากการแช่

มาเน้นที่ชั้นเรียนการแช่ตัวแบบปกติ $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. การดื่มด่ำเช่นนี้คือสิ่งที่คุณได้รับจากแผนภาพปมโดยลืมการข้ามเหนือ / ใต้ ไม่ยากที่จะเห็นว่าถ้า$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ คือการแช่โฮโมโทปิกอย่างสม่ำเสมอโดยมีจุดตัดตัวเองตามขวาง $f$ สามารถเปลี่ยนเป็น $g$ตามลำดับของการเคลื่อนไหวที่คล้ายคลึงกันของ Reidemeister II / III อย่างไรก็ตามคุณไม่สามารถแสดงอะนาล็อกของ Reidemeister ที่ฉันเคลื่อนที่ได้เนื่องจากในขณะที่คุณดึงห่วงของคุณให้แน่นอนุพันธ์จะต้องหายไปดังนั้นจึงไม่ใช่ homotopy ปกติ

ฉันเดาว่านี่คือสิ่งที่ Kauffman กำลังคิดอยู่ โดยวิธีการที่ชั้นเรียน homotopy ปกติของการแช่$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$สามารถจำแนกได้อย่างสมบูรณ์ การหาอนุพันธ์ของการแช่และการปรับขนาดดังกล่าวเพื่อให้อนุพันธ์มีความยาวหน่วยคุณจะได้รับแผนที่ที่เกี่ยวข้อง$S^1 \rightarrow S^1$. ระดับของแผนที่นี้เรียกว่าระดับของการแช่และทฤษฎีบทของ Whitney-Grausteinกล่าวว่าระดับนี้เป็นค่าคงที่โดยสิ้นเชิง ทฤษฎีบทนี้เป็นสารตั้งต้นของทฤษฎีบทการแช่ Hirsch-Smale ซึ่งสำหรับกรณีพิเศษของการแช่$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ รวมถึง "sphere eversions" ที่มีชื่อเสียงของ Smale ที่เปลี่ยนทรงกลมภายใน - ภายนอก

4 ScottCarter Aug 20 2020 at 00:36

มีการวาดแผนภาพในระนาบ จำกัด เฉพาะนอต (ไม่ใช่ลิงก์) วางแนวเส้นโค้งและเชื่อมโยงกับการข้าม a (+/-) แต่ละครั้งโดยใช้กฎมือขวา: ฝ่ามือพร้อมข้ามโดยมีพิ้งกี้ชี้ไปทางเส้นโค้งไปที่ + ใต้ข้าม ยกนิ้วขึ้น = เครื่องหมาย + ผลรวมของการข้ามทั้งหมด นี่คือการดิ้น Writhe กำหนดการเชื่อมโยงตัวเองของปมด้วยการกดออก วาด \ infty +, \ infty- และ 0 \ infty + มีส่วนโค้งที่มีความชัน + เป็นส่วนโค้งเกิน วาดเส้นโค้งผลักออกในระนาบและคำนวณหมายเลขการเชื่อมโยง <- การคำนวณที่ยุ่งยากทำได้ดีที่สุดโดยใช้การย้าย RI เพื่อสร้างลิงก์ Hopf ปมและการผลักออกผูกวงแหวน หาก # ปมที่เชื่อมด้วยตนเองคือ 0 วงแหวนจะขยายไปยังพื้นผิว Seifert การกดออกกำหนดลองจิจูดที่ต้องการ แต่โดยทั่วไปเส้นโค้งกรอบกระดานดำมี self-link = wrhe ด้วย \ alpha - \ gamma curve คุณสามารถวาดสิ่งนี้ได้ 4 วิธี 2 มี 0 คำสั่ง 1 มี +2 อีกตัว -2 คนที่มี 0 การดิ้นมักจะมีการเคลื่อนไหวเป็นประจำถึงไม่มีนอต อีก 2 คนต้องการประเภทที่ฉันเคลื่อนไหว ที่ไหนสักแห่งใน Kauffman คุณจะเห็นเคล็ดลับของ Whitney เส้นโค้งอัลฟา - แกมม่ามี 1 หงิกงอออกไปด้านนอกและ 1 หงิกงอเข้าด้านใน มีเส้นโค้งอัลฟา - อัลฟาและเส้นโค้งแกมมา - แกมมา: สองออกหรือสองในการตอบสนอง ไม่ว่าในกรณีใดจะสามารถจัดเรียงข้อต่อได้เหมือนสายโทรศัพท์หรือยกเลิกได้ กรณีการยกเลิกเป็นเรื่องยุ่งยาก มีเครื่องหมายอยู่บน S ^ 2 เช่น bigon ที่ล้อมรอบในกรณี gamma gamma จะอยู่ด้านนอก นั่นเป็นเหตุผลที่คุณต้องใช้ไอโซโทปแบบกรอบใน S ^ 3 แทนที่จะเป็น R ^ 3 [! [0 และ - / + เส้นโค้งอินฟินิตี้