ริบบอนในตัวและไอโซโทปปกติ
ฉันกำลังอ่านบทความในปี 1990 ของ Kauffman เรื่อง "An Invariant of Regular Isotopy" เกี่ยวกับนอตที่มีไอโซโทปผ่านการเคลื่อนที่ของ Reidemeister Type II และ III เท่านั้นซึ่งเรียกว่าไอโซโทปปกติ กระดาษของเขาอ้างว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างไอโซโทปปกติและแถบฝังตัว ($S^1 \times [0,1]$) ใน $S^3$. เขาอ้างถึงตำรา Burde's Knots แต่ฉันไม่พบการกล่าวถึงไอโซโทปปกติเพราะดูเหมือนว่า Kauffman จะบัญญัติวลีนั้นไว้ในกระดาษหลังจากที่เขียนข้อความของ Burde
ฉันคิดว่าไอโซโทปของนอตปกติสอดคล้องกับแถบฝังตัว อย่างไรก็ตามฉันกังวลว่าอาจมีพยาธิสภาพที่ฉันมองข้ามไป ใครมีคำแถลงที่แม่นยำเกี่ยวกับความสัมพันธ์หรือไม่?
คำตอบ
จากแผนภาพปมใดก็ได้เราสามารถหาปมกรอบได้โดยใช้ "กรอบกระดานดำ" จุดของไอโซโทปปกติของแผนภาพปมคือการรักษากรอบกระดานดำนี้ เนื่องจากนอตในกรอบและแถบฝังเป็นสิ่งเดียวกันไอโซโทปปกติจะยังคงรักษาแถบฝังที่สอดคล้องกับกรอบกระดานดำของแผนภาพปม
ฉันคิดว่าสิ่งนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมใน Burde อาจเป็นในแง่ของการผูกปม นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่า Burde ไม่ได้พูดถึงปมกรอบเลยเนื่องจากฉันคิดว่าผู้คนเริ่มสนใจพวกเขามากขึ้นหลังจากการค้นพบพหุนามของโจนส์ / Chern-Simons TQFT และฉันเห็นด้วย: ฉันคิดว่าคอฟแมนเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "ไอโซโทปปกติ" ดังนั้นจึงอาจไม่ได้ใช้ในเบิร์ด
นี่เป็นความคิดเห็นมากกว่าคำตอบ แต่ฉันหวังว่ามันจะเป็นประโยชน์ มีความคิดที่มากเก่าและดีกว่าการศึกษาคือฮอมอโทปกติ ปล่อย$X$ และ $Y$ เป็นท่อที่เรียบและปล่อยให้ $f,g\colon X \rightarrow Y$ดื่มด่ำ แล้ว$f$ และ $g$ เป็นประจำหากมีการไหลเวียนของอากาศจากการแช่
มาเน้นที่ชั้นเรียนการแช่ตัวแบบปกติ $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. การดื่มด่ำเช่นนี้คือสิ่งที่คุณได้รับจากแผนภาพปมโดยลืมการข้ามเหนือ / ใต้ ไม่ยากที่จะเห็นว่าถ้า$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ คือการแช่โฮโมโทปิกอย่างสม่ำเสมอโดยมีจุดตัดตัวเองตามขวาง $f$ สามารถเปลี่ยนเป็น $g$ตามลำดับของการเคลื่อนไหวที่คล้ายคลึงกันของ Reidemeister II / III อย่างไรก็ตามคุณไม่สามารถแสดงอะนาล็อกของ Reidemeister ที่ฉันเคลื่อนที่ได้เนื่องจากในขณะที่คุณดึงห่วงของคุณให้แน่นอนุพันธ์จะต้องหายไปดังนั้นจึงไม่ใช่ homotopy ปกติ
ฉันเดาว่านี่คือสิ่งที่ Kauffman กำลังคิดอยู่ โดยวิธีการที่ชั้นเรียน homotopy ปกติของการแช่$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$สามารถจำแนกได้อย่างสมบูรณ์ การหาอนุพันธ์ของการแช่และการปรับขนาดดังกล่าวเพื่อให้อนุพันธ์มีความยาวหน่วยคุณจะได้รับแผนที่ที่เกี่ยวข้อง$S^1 \rightarrow S^1$. ระดับของแผนที่นี้เรียกว่าระดับของการแช่และทฤษฎีบทของ Whitney-Grausteinกล่าวว่าระดับนี้เป็นค่าคงที่โดยสิ้นเชิง ทฤษฎีบทนี้เป็นสารตั้งต้นของทฤษฎีบทการแช่ Hirsch-Smale ซึ่งสำหรับกรณีพิเศษของการแช่$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ รวมถึง "sphere eversions" ที่มีชื่อเสียงของ Smale ที่เปลี่ยนทรงกลมภายใน - ภายนอก

