สับสนเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ Tensor ของโมดูล R

Question

ในหนังสือของ Tu เรื่อง Differential Geometry เขาให้คำจำกัดความเป็นครั้งแรก $Free(V\times W)$ เช่น:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ โดยที่ผลรวมเป็นจำนวน จำกัด

วิธีที่ฉันเข้าใจคือโครงสร้างข้างต้นเป็นการผสมผสานอย่างเป็นทางการและลืมโครงสร้างที่แท้จริงของโมดูล กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า$v_1+v_2 = v_3$มันไม่เป็นความจริงใน $Free(V\times W)$ ที่ $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

ตอนนี้เพื่อสร้างผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ที่เราหารด้วยโมดูลย่อย $S$ ครอบคลุมโดยองค์ประกอบของแบบฟอร์ม: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ จากนั้นเรามีแผนที่จากผลิตภัณฑ์ไปยังผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

อย่างไรก็ตามหาก $v_3 = v_1 + v_2$แล้วฉันก็ไม่สามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ ซึ่งควรเป็นกรณีนี้ถ้า $\otimes$เป็น โมดูล homomorphism bilinear map

Answer 1

ตั้งแต่ $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ และ $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ ถูกกำหนดโดย $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ เงื่อนไข $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ บอกเราว่า $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ ซึ่งเหมือนกับ $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. นอกจากนี้สังเกตว่าความสัมพันธ์อื่น ๆ ที่กำหนด$S$ ให้เรา \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

---

จำไว้ว่าถ้า $M$ เป็น $R$- โมดูลและ $S$ เป็นโมดูลย่อยของ $M$ผลหาร $M/S$ ถูกกำหนดโดย $M/\!\sim$, ที่ไหน $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ ในกรณีนี้คลาสความเทียบเท่าของ $m \in M$ ให้โดย $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (ด้วยเหตุนี้ $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$) และเรากำหนดไฟล์ $R$- โครงสร้างโมดูลใน $M/S$ โดย $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

ดังนั้นสำหรับคนรุ่นหลังฉันต้องการเขียนคำตอบสำหรับคนอื่น ๆ ที่อาจมีความสับสนเหมือนกัน ดังที่ @KCd ชี้แจงองค์ประกอบของ$Free(V\times W)$ มีรูปแบบ

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

อย่างไรก็ตามหากเราเขียนองค์ประกอบเฉพาะของ $Free(V\times W)$ เช่น $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ และ $v_3 = v_1 + v_2$ แล้ว $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งภายในวงเล็บของเราในสัญกรณ์ของเราเราไม่ได้หาผลรวมที่เป็นทางการ แต่เป็นการรวมองค์ประกอบของโมดูลตามที่เราทำตามปกติ