แสดงความคาดหวังขั้นต่ำของ Martingale ที่หยุดแล้วคือ $-\infty$
พิจารณาการเดินแบบสุ่ม $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ ที่ไหน $X_k$ มีขอบเขตสม่ำเสมอ iid ด้วย $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. ปล่อย$a>0$ และตั้งค่า $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. แสดงว่า$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.
ฉันกำลังคิดที่จะกำหนด $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ และใช้ Martingale $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. จากนั้นเราจะได้รับ (โดยใช้ MCT และขอบเขตและ$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. โดยนัยนี้$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. ฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการอย่างไรต่อจากที่นี่
คำตอบ
แล้วเรื่องนี้ล่ะ?
สำหรับใด ๆ $N < \infty$โดยทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างทางเลือกเรามี $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. และ$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ เช่น $N, k \to \infty$.
ดังนั้น $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ แปลงเป็นจำนวนลบเป็น $N,k \to \infty$.
ปล่อย $U = \min_n S_{n \wedge T}$. ตอนนี้$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. ถ้า$E(U) > -\infty$แล้ว $E(U I_{U < -k}) \to 0$ เช่น $k \to \infty$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง