แสดงภาพโครงการ $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$
ปล่อย $k$ เป็นสนามปิดเกี่ยวกับพีชคณิต (สำหรับฉันฉันใช้ $k=\mathbb C$). ฉันรู้แล้ว$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ ประกอบด้วยเพียงอุดมคติที่สำคัญ $(x)$. อันที่จริงอุดมคติใด ๆ$\mathfrak p$ ของ $k[x]/(x^2)$ เป็นอุดมคติของ $k[x]$ ดังนั้น $(x^2) \subset \mathfrak p$.
ถ้าตอนนี้เราพิจารณา $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$ตอนนี้อุดมคติที่สำคัญของ $k[x,y]$ คือ $(0)$, $(x-a,y-b)$ สำหรับ $a,b \in k$ และพหุนามที่วัดไม่ได้ $f(x,y)$ กำลังสร้าง $(f(x,y))$.
อย่างชัดเจน $(y^2)\not\subset (0)$. สำหรับพหุนามที่วัดไม่ได้เรามี$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$ดังนั้นฉันคิดว่ามันถูกต้องที่จะบอกว่าอุดมคติที่มีอคติกับสิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบ $(a+f(x)y+g(x))$ ที่ไหน $a,b \in k$ และ $f,g$ไม่สามารถวัดได้ ฉันคิดว่า$(x-a,y-b)$ ก็จะเป็นอุดมคติที่สำคัญของวงแหวนผลหารเนื่องจากการหารด้วยพวกมันให้โดเมนหนึ่ง
ตอนนี้ฉันสนใจที่จะเข้าใจเรื่องทั่วไป $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
- เราสามารถจำแนกองค์ประกอบทั้งหมดของสเปกตรัมของวงแหวนนี้สำหรับ $n \geq 1$เหรอ?
- เราสามารถนึกภาพโครงร่างนี้และได้รับการศึกษาในบริบทบางอย่างในวรรณคดีหรือไม่?
คำตอบ
ปล่อย $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $
แล้ว $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$เส้นตรงข้ามวงแหวน $R$. สังเกตว่าตั้งแต่$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$เป็นอุดมคติสูงสุดที่เป็นแก่นสารของ $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$กล่าวคือมันเป็นจุดอ้วนในความหมายของ Mumford
ถ้า $p\in \mathbb A^1_R$ให้พิจารณาว่าเป็นภาพใน $\operatorname {Spec} R$ ภายใต้โครงสร้าง morphism $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. ด้วยประการฉะนี้$\pi(p)=m$.
เนื่องจากเรามี $R/m \cong k $เราเห็นการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$
ดังนั้น $\textbf{sets}$ คุณมี $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $
แต่แน่นอนว่าโครงสร้างมัดนั้นแตกต่างกัน $\mathbb A^1_R$ มีจุดด่างดำในโครงสร้างมัด